Как найти диагональ трапеции

Знакомство с трапецией впервые происходит при изучении курса планиметрии. Хотя и до этого вы наверняка встречали предметы, форма которых совпадает с данной геометрической фигурой. Четырехугольник отличается тем, что только 2 из его четырех сторон параллельны. Если соединить противолежащие вершины фигуры отрезками, то получим ее диагонали. Как определить их длину? Величина этих отрезков связана с углами фигуры, длиной ее сторон и высоты.

1
Диагонали и углы трапеции

Если перед вами произвольная трапеция с известными углами в основании, а также боковыми сторонами и основанием, то в определении величины диагоналей поможет следующее соотношение:

d1 \u003d √a ² + d ² – 2ad*cosβ,
d2 \u003d √a ² + c ² – 2ac*cosα,

d1, d2 – искомые диагонали,
a – основание,
c, d – боковые стороны,
β, α – углы, лежащие в основании.

В его основе лежит теорема косинусов, позволяющая в треугольнике определить длину стороны, используя известные величины двух других сторон, а также угла, лежащего против искомой стороны.

2
Диагонали и стороны трапеции

При наличии известных всех четырех сторон фигуры для нахождения ее диагоналей можно использовать выражения:

d1 \u003d √ d ² + ab – (a(d ² - ค. ²)/(a-b)),
d2 \u003d √ c ² + ab – (a(c ² – d ²)/(a-b)).

Взаимосвязь между диагоналями:

d1 ² + d2 ² \u003d c ² + d ² + 2ab,
d1 \u003d √c ² + d ² + 2ab – d2 ²,
d2 \u003d √c ² + d ² + 2ab – d1 ²,

Как в первом, так и во втором случаях:
d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
c, d – боковые стороны.

3
Диагонали и высота трапеции

При известном значении одного из оснований фигуры или боковой стороны, угла при нижнем основании, а также высоты четырехугольника, с определением длин диагоналей также не возникнет сложностей.

d1 \u003d √h ² + (a – h*ctgβ) ²,
d1 \u003d √h ² + (b + h*ctgα) ²,
d1 \u003d √a ² + d ² – 2a √d ² - ชม. ²,

d1 \u003d √h ² + (a – h*ctgα) ²,
d1 \u003d √h ² + (b + h*ctgβ) ²,
d1 \u003d √a ² + c ² – 2a √c ² - ชม. ²,

d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
β, α – углы, лежащие в основании.
c, d – боковые стороны,
h – высота фигуры.

4
Диагонали и средняя линия трапеции

Если в числе заданных величин присутствует средняя линия, то с ее помощью также можно вычислить длину диагоналей фигуры. Соотношение верно лишь в случаях, когда sinφ \u003d sin γ.

เพราะ l \u003d D1 * D2 * SINφ / 2H \u003d D1 * D2 * SIN γ / 2H,

d1 \u003d 2HL / D2 * SINφ \u003d 2HL / D2 * SIN γ,
D2 \u003d 2HL / D1 * SINφ \u003d 2HL / D1 * SIN γ,

d1, d2 – искомые диагонали,
φ, γ - มุมระหว่างพวกเขา
H - ความสูงของรูป
l - เส้นกลางของมัน

5
รูป Equaloboca

หากตามเงื่อนไขของงานสี่เหลี่ยมคางหมูมีด้านข้างเท่ากันนิพจน์สำหรับการค้นหาเส้นทแยงมุมของรูปจะถูกแปลงด้วยความจริงที่ว่า C \u003d D:

d1 \u003d D2 \u003d √c ² + ab,
D1 \u003d D2 \u003d √a ² + c ² – 2ac*cosα,
D1 \u003d D2 \u003d √a ² + c ² + 2AC * cosβ,
D1 \u003d D2 \u003d √b ² + c ² - 2bc * cosβ,
D1 \u003d D2 \u003d √b ² + c ² + 2bc * cosα,
D1 \u003d D2 \u003d √h ² + ล. ²,
D1 \u003d D2 \u003d √h ² + (A + B) ²/4,
D1 \u003d D2 \u003d √H * (A + B) / SINφ \u003d √2S / SINφ \u003d √2LH / SINφ (SINφ \u003d SIN γ),