Trigonometrische Funktionen, einschließlich der Tangente, werden am häufigsten während der Lösung derselben Namen verwendet, sowie geometrische Aufgaben. Was im Sinne des Begriffs "Tangent" und wie Sie es feststellen können?
Geometrische Definition von Tangential
Um den Begriff "Tangent" zu ermitteln, ist es notwendig, den Kreis zu berücksichtigen, dessen Mitte an der Stelle des Kreuzung der Achsen des kartesischen Koordinatensystems (X- und Y-Achsen) - (0,0) angeordnet ist. Der Radius des Kreises (R) ist 1.
- Wählen Sie einen beliebigen Punkt in diesem Kreis und bezeichnen Sie es als (x, y).
- Als nächstes verbringen wir direkt direkt unter ∠90 ° zur Ochsenachse. Die Segmente al \u003d y und ol \u003d x erhalten.
- Verbinden Sie T. a (x, y) mit dem Beginn der Koordinaten - t. O. Das resultierende Segment AO \u003d R bildet einen bestimmten Winkel mit der Abszisse-Achse. Bezeichnen es als φ.
Der Tangent des resultierenden Winkels α ist das Verhältnis der Ordinate y (Cut al) an der Abszisse x (Segment OL)
tgφ \u003d al / ol \u003d y / x, mit x ≠ 0.
Weil Die Schnitte Al und ol sind gegenüberliegend und benachbart, Δoal-Cates mit ∠LOA \u003d 90 °, das Konzept von Tangent bestimmt die Beziehung zwischen den Längen der Seiten des rechteckigen Dreiecks.
Tangente Winkel - Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Katechs bis zur Länge der Seite der benachbarten Kategorie.
Bestimmung der Tangente durch trigonometrische Identitäten
In Anbetracht eines einzelnen Kreises (Absatz 1) ist es einfach zu bemerken, dass:
sinφ \u003d al / r \u003d y / 1 \u003d y,
cosφ \u003d ol / r \u003d x / 1 \u003d x.
Zuvor wurde gefunden, dass tgφ \u003d y / x ⇒ tgφ \u003d sinφ / cosφ.
Basierend auf diesem ist der folgende identische Ausdruck wahr:
sinφ. 2+ cosφ. 2\u003d 1 ⇒ tgφ \u003d √ (1 / cosφ 2) – 1.
Bestimmung der Tangente durch die Formel
Rückkehr in einen einzelnen Kreis, ist es leicht zu sehen:
- Nehmen Sie den Punkt B, dessen Koordinaten zum Beispiel (-x, y) ausmachen.
- Ein Winkel, der durch das Segment von OB (R) gebildet wird, und die Achse der Abszisse wird durch η angezeigt.
- Dann tgη \u003d y / (-x) \u003d - (y / x) \u003d - tgη.
Der Tangent ist also eine ungerade Funktion.
tg (π / 2 + η) \u003d -ctgη, TG (π + η) \u003d TGη,
tg (π / 2 - η) \u003d ctgη, tg (π - η) \u003d -tgη,
tg (3π / 2 + η) \u003d -ctgη, Tg (2π + η) \u003d TGη,
tG (3π / 2 - η) \u003d ctgη, tg (2π - η) \u003d -tgη.
Weil Tangent ist eine Funktion periodisch und seine Periode ist π (180 °), die obigen Beziehungen sind gültig und im Allgemeinen:
tG (πk + η) \u003d TGη
tg (π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη, tg (π + η + πk) \u003d TGη,
tg (π / 2 - η + πk) \u003d ctgη, tg (π - η + πk) \u003d -tgη,
tg (3π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη, tg (2π + η + πk) \u003d tgη,
tG (3π / 2 - η + πk) \u003d CtGη, TG (2π - η + πk) \u003d -tgη, wobei k eine beliebige Nummer aus dem Bereich der gültigen Zahlen ist.
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