Що таке тангенс?

Тригонометричні функції, в числі яких і тангенс, найбільш часто використовуються в ході рішення однойменних рівнянь, а також геометричних задач. Що ж має на увазі термін "тангенс" і як його визначити?

1

Геометричне визначення тангенса

Для визначення терміна "тангенс" необхідно розглянути коло, центр якої розташований в точці перетину осей декартової системи координат (осей x і y) - (0,0). Радіус кола (r) становить 1.

• Виберемо довільну точку на даній окружності і позначимо її як A (x, y).
• Далі проведемо через неї пряму під ∠90 ° до осі Ox. Отримали відрізки AL \u003d y і OL \u003d x.
• З'єднуємо т. A (x, y) з початком координат - т. O. Отриманий відрізок AO \u003d r утворює з віссю абсцис деякий кут. Позначимо його як φ.

Тангенсом отриманого кута α є ставлення ординати y (відрізок AL) до абсциссе x (відрізок OL)

tgφ \u003d AL / OL \u003d y / x, при цьому x ≠ 0.

Оскільки відрізки AL і OL є протилежними і прилеглим відповідно катетами ΔOAL з ∠LOA \u003d 90 °, то поняття тангенс визначає відношення між довжинами сторін прямокутного трикутника.

Тангенс кута - відношення довжини протилежного катета до довжини сторони прилеглого катета.

2

Визначення тангенса через тригонометричні тотожності

Розглядаючи одиничну окружність (пункт 1), нескладно помітити, що:

sinφ \u003d AL / r \u003d y / 1 \u003d y,

cosφ \u003d OL / r \u003d x / 1 \u003d x.

Раніше було встановлено, що tgφ \u003d y / x ⇒ tgφ \u003d sinφ / cosφ.

Виходячи з цього справедливо наступне тотожне вираз:

sinφ ²+ cosφ ²\u003d 1 ⇒ tgφ \u003d √ (1 / cosφ ²) – 1.

3

Визначення тангенса через формули приведення

Повертаючись до одиничному колі, нескладно помітити:

• Візьмемо точку B, координати якої складають, наприклад (-x, y).
• Кут, утворений відрізком OB (r) і віссю абсцис позначимо як η.
• Тоді tgη \u003d y / (-x) \u003d - (y / x) \u003d - tgη.

А значить тангенс є непарною функцією.

tg (π / 2 + η) \u003d -ctgη, tg (π + η) \u003d tgη,

tg (π / 2 - η) \u003d ctgη, tg (π - η) \u003d -tgη,

tg (3π / 2 + η) \u003d -ctgη, tg (2π + η) \u003d tgη,

tg (3π / 2 - η) \u003d ctgη, tg (2π - η) \u003d -tgη.

Оскільки тангенс є функція періодична і період її становить π (180 °), наведені вище співвідношення справедливі і в загальному випадку:

tg (πk + η) \u003d tgη

tg (π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη, tg (π + η + πk) \u003d tgη,

tg (π / 2 - η + πk) \u003d ctgη, tg (π - η + πk) \u003d -tgη,

tg (3π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη, tg (2π + η + πk) \u003d tgη,

tg (3π / 2 - η + πk) \u003d ctgη, tg (2π - η + πk) \u003d -tgη, де k - будь-яке число з області дійсних чисел.