مماس چیست؟

توابع مثلثاتی، از جمله مماس، اغلب در راه حل نام های مشابه و همچنین وظایف هندسی استفاده می شود. چه چیزی به معنای اصطلاح "مماس" و نحوه تعیین آن است؟

1

تعریف هندسی از مماس

برای تعیین اصطلاح "مماس"، لازم است که دایره را در نظر بگیریم، مرکز آن در نقطه عبور از محورهای سیستم مختصات دکارتی (محورهای X و Y) (0.0) قرار دارد. شعاع دایره (R) 1 است.

• یک نقطه دلخواه را در این دایره انتخاب کنید و آن را به عنوان a (x، y) نشان دهید.
• بعد، ما به طور مستقیم به طور مستقیم تحت ∠90 درجه به محور OX به طور مستقیم صرف می کنیم. بخش های al \u003d y و ol \u003d x را دریافت کرد.
• اتصال T. A (X، Y) با آغاز مختصات - T. O. بخش حاصل ao \u003d r یک زاویه خاص با محور Abscissa را تشکیل می دهد. آن را به عنوان φ نشان دهید.

مماس زاویه حاصل α نسبت Orment Y (برش آل) به Abscissa X (بخش OL)

tgφ \u003d al / ol \u003d y / x، با x ≠ 0.

زیرا Cuts Al و Ol به ترتیب مخالف و مجاور هستند، به ترتیب ΔOal با ∠LoA \u003d 90 درجه، مفهوم مماس، رابطه بین طول دو طرف مثلث مستطیلی را تعیین می کند.

زاویه مماس - نسبت طول متضاد متضاد به طول سمت بخش مجدسی.

2

تعیین مماس از طریق هویت های مثلثاتی

با توجه به یک دایره واحد (پاراگراف 1)، آسان است که متوجه شوید:

sinφ \u003d al / r \u003d y / 1 \u003d y،

cosφ \u003d ol / r \u003d x / 1 \u003d x.

پیش از این، این یافت شد که tgφ \u003d y / x ⇒ tgφ \u003d sinφ / cosφ.

بر اساس این، بیان یکسان زیر درست است:

sinφ ²+ cosφ ²\u003d 1 ⇒ TGφ \u003d √ (1 / cosφ ²) – 1.

3

تعیین مماس از طریق فرمول

بازگشت به یک دایره تک، آسان است برای دیدن:

• به عنوان مثال (-x، Y)، مختصات را تشکیل می دهند.
• زاویه ای که توسط بخش OB (R) تشکیل شده و محور Abscissa توسط η نشان داده شده است.
• سپس tgη \u003d y / (-x) \u003d - (y / x) \u003d - tgη.

بنابراین، مماس یک تابع عجیب است.

tG (π / 2 + η) \u003d -ctgη، tg (π + η) \u003d tgη،

tG (π / 2 - η) \u003d CTGη، TG (π - η) \u003d -tgη،

tG (3π / 2 + η) \u003d -Ctgη، TG (2π + η) \u003d TGη،

tG (3π / 2 - η) \u003d CTGη، TG (2π - η) \u003d -tgη.

زیرا مماس یک دوره زمانی است و دوره آن π (180 درجه) است، روابط فوق معتبر و به طور کلی:

tG (πk + η) \u003d tgη

tG (π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη، tg (π + η + πk) \u003d tgη،

tG (π / 2 - η + πk) \u003d CTGη، TG (π - η + πk) \u003d -tgη،

tG (3π / 2 + η + πk) \u003d -ctgη، tg (2π + η + πk) \u003d tgη،

tG (3π / 2 - η + πk) \u003d CTGη، TG (2π - η + πk) \u003d -tgη، جایی که k هر عدد از محدوده اعداد معتبر است.