Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.
1
Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) \u003d df/dx·x 0. Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0f \u003d f′(x 0)·d x0x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем.
2
Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y \u003d x 3-x 4. Сначала найдём производную от функции: y′\u003d (x 3-x 4)′ \u003d (x 3)′-(x 4)′ \u003d 3x 2-4x 3. Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df \u003d (3x 3-4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х.
3
Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y \u003d x²-y x. Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx \u003d df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy \u003d x·y x-1, а dy/dx \u003d y′. Теперь собираем всё воедино: y′ \u003d 2x-(x·y x-1·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ \u003d 2x, и в итоге получаем: y′ \u003d 2x/(1+x·y x-1) \u003d dy/dx. Исходя из этого, dy \u003d 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним.
4
Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d /d(x 3)·(x 3–2x 6–x 9), som kommer att vara en andra ordningskillnad för f (x). Baserat på formeln f ′ (u) \u003d d/du · f (u), där u \u003d f (x), accepterar vi u \u003d x 3. Vi får: d/d (u) · (u-2U 2-U 3) \u003d (U-2U 2-U 3) ′ \u003d 1-4U-3U 2. Returnera ersättaren och få svaret - 1 –x 3–x 6, x ≠ 0.
5
Assistenten i skillnaden kan också bli onlinetjänst. Naturligtvis kommer du inte att använda den på kontrollen eller tentamen. Men med en oberoende verifiering av lösningen i lösningen är dess roll svår att överskatta. Utöver resultatet visar det också mellanliggande lösningar, grafer och en obestämd integral av differentiell funktion, liksom rötter till differentiell ekvation. Den enda nackdelen är inspelningen i en rad i funktionen när du går in, men med tiden kan du vänja dig till den. Tja, naturligtvis kan en sådan tjänst inte hantera komplexa funktioner, men allt som är enklare är på hans tänder.
6
Differentialen är praktisk för praktisk tillämpning främst inom fysik och ekonomi. Så i fysiken löses ofta uppgifterna med att bestämma hastigheten och dess derivat - acceleration genom differentiering. Och i ekonomin är skillnaden en integrerad del av att beräkna företagets effektivitet och statens finanspolitik, till exempel effekten av en finansiell spak.
Den här artikeln diskuterar typiska differentieringsuppgifter. Kursen för högre matematik för universitetsstudenter innehåller ofta också uppdrag för användning av differential i nära dator, liksom sökandet efter beslut om differentiella ekvationer. Men det viktigaste är att du med en tydlig förståelse av grunderna enkelt hanterar alla de nya uppgifterna.
0
932
