Что такое тангенс?

Тригонометрические функции, в числе которых и тангенс, наиболее часто используются в ходе решения одноименных уравнений, а также геометрических задач. Что же подразумевает термин “тангенс” и как его определить?

1

Геометрическое определение тангенса

Для определения термина “тангенс” необходимо рассмотреть окружность, центр которой расположен в точке пересечения осей декартовой системы координат (осей x и y) – (0,0). Радиус окружности (r) составляет 1.

• Выберем произвольную точку на данной окружности и обозначим ее как A (x, y).
• Далее проведем через нее прямую под ∠90° к оси Ox. Получили отрезки AL = y и OL = x.
• Соединяем т. A (x, y) с началом координат – т. O. Полученный отрезок AO = r образует с осью абсцисс некоторый угол. Обозначим его как φ.

Тангенсом полученного угла α является отношение ординаты y (отрезок AL) к абсциссе x (отрезок OL)

tgφ = AL / OL = y / x, при этом x≠0.

Т.к. отрезки AL и OL являются противолежащим и прилежащим соответственно катетами ΔOAL с ∠LOA = 90°, то понятие тангенс определяет отношение между длинами сторон прямоугольного треугольника.

Тангенс угла – отношение длины противолежащего катета к длине стороны прилежащего катета.

2

Определение тангенса через тригонометрические тождества

Рассматривая единичную окружность (пункт 1), несложно заметить, что:

sinφ = AL / r = y /1 = y,

cosφ = OL / r = x / 1 = x.

Ранее было установлено, что tgφ = y / x ⇒ tgφ = sinφ / cosφ.

Исходя из этого справедливо следующее тождественное выражение:

sinφ² + cosφ² = 1 ⇒ tgφ = √(1 / cosφ²) – 1.

3

Определение тангенса через формулы приведения

Возвращаясь к единичной окружности, несложно заметить:

• Возьмем точку B, координаты которой составляют, например (-x, y).
• Угол, образованный отрезком OB (r) и осью абсцисс обозначим как η.
• Тогда tgη = y / (-x) = – ( y / x) = – tgη.

А значит тангенс является нечетной функцией.

tg(π/2 + η) = -ctgη,                                 tg(π + η) = tgη,

tg(π/2 – η) = ctgη,                                   tg(π – η) = -tgη,

tg(3π/2 + η) = -ctgη,                               tg(2π + η) = tgη,

tg(3π/2 – η) = ctgη,                                 tg(2π – η) = -tgη.

Т.к. тангенс есть функция периодическая и период ее составляет π (180°), приведенные выше соотношения справедливы и в общем случае:

tg(πk + η) = tgη

tg(π/2 + η + πk) = -ctgη,                                 tg(π + η + πk) = tgη,

tg(π/2 – η + πk) = ctgη,                                   tg(π – η + πk) = -tgη,

tg(3π/2 + η + πk) = -ctgη,                               tg(2π + η + πk) = tgη,

tg(3π/2 – η + πk) = ctgη,                                 tg(2π – η + πk) = -tgη, где k – любое число из области действительных чисел.