Как найти площадь четырехугольника

При решении планиметрических заданий курса геометрии нередко встречается фигура с 4-мя сторонами. Да, речь идет о четырехугольнике. Произвольный многоугольник с четырьмя углами встречается реже, чем его частные случаи, – трапеции, дельтоиды, параллелограммы. В последнюю «группу» входят также ромбы, прямоугольники, квадраты.
Рассмотрим, какие данные фигуры необходимо знать, чтобы рассчитать ее площадь.

1
Как найти площадь четырехугольника

Многоугольник произвольный

Для нахождения его площади вам потребуются диагонали фигуры, а также угол, полученный как результат их пересечения.

S = (d1*d2*sinα)/2,
d1, d2 – диагонали,
α – угол, полученный путем их пересечения.

Многоугольник в окружности

Если заданный четырехугольник помещен в окружность, известна длина сторон фигуры, то в определении площади многоугольника поможет соотношение:

S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e – его стороны.

2
Как найти площадь четырехугольника – трапеции

Данную фигуру отличает наличие параллельных 2-ух сторон. Чтобы определить площадь такого многоугольника воспользуйтесь такими параметрами:

Если известны величины параллельных сторон и перпендикуляра-высоты, проведенной к ним, площадь вычисляется с помощью выражения S = ((a + b)*h)/2,
a и b – основания,
h – перпендикуляр-высота.
Исходя из определения линии средины (k = (a + b)/2)), предыдущая формула приобретет следующий вид: S = k*h,
k – линия средины.
Известные диагонали трапеции и градусная мера угла, образованная в результате их пересечения, также помогут определить площадь фигуры: S = (d1*d2*sinβ)/2,
d1, d2 – диагонали,
β – угол, полученный путем их пересечения.
Заданы 4 стороны: S = ((m + l)√k² – ((m – l)² + k²– d²)²/(4(m – l)²))/2,
m, l – стороны параллельные,
k, d – стороны боковые.

3
Как найти площадь четырехугольника – дельтоида

Многоугольник-дельтоид характеризуется наличием 2-ух пар равных сторон. Вычислить площадь такого четырехугольника рассчитывается следующим образом:

Известны стороны фигуры и угол, образованный сторонами разной длины:
S = m*l*sinϕ,
m, l – стороны дельтоида,
ϕ – угол между ними.
Известны стороны фигуры и углы, образованные сторонами равной длины:
S = m²*sinα/2 + l²*sinβ/2,
m, l – стороны дельтоида,
α, β – углы между равными сторонами.
Наличие известных диагоналей также позволяет определить площадь фигуры:
S = d1*d2/2,
d1, d2 – диагонали дельтоида.
Если в фигуру вписана окружность, то знание ее радиуса позволяет вычислить площадь дельтоида: S = (m + l)*r,
m, l – стороны дельтоида,
r – радиус в случае вписанной окружности.

4
Как найти площадь четырехугольника – параллелограмма

Если выпуклый многоугольник имеет 2 пары непересекающихся сторон, то перед вами – параллелограмм.

Общее выражение

Для определения площади данного вида фигуры потребуются:

Сторона четырехугольника и высота, на нее опущенная: S = k*h(k),
k – сторона фигуры,
h(k) – высота к ней.
Длина двух сторон, имеющих одну вершину, и градусная мера угла при данной вершине:
S = l*k*sinϕ,
k, l – стороны многоугольника,
ϕ – угол между ними.
Диагонали фигуры и угол, полученный как результат их пересечения: S = d1*d2*sinβ/2,
d1, d2 – диагонали,
β – угол – результат их пересечения.

Ромб

Данный четырехугольник – частный случай параллелограмма, имеющий 4 равные стороны. Поэтому выражения, справедливые для параллелограмма, верны и для него. Тогда

S = k*h(k),
k – сторона фигуры, h(k) – высота к ней.
S = k²*sinϕ,
k – сторона четырехугольника, ϕ – угол между сторонами.
S = d1*d2/2 (т.к. диагонали фигуры при пересечении образую прямой угол, а sin90° = 1),
d1, d2 – диагонали многоугольника.

Прямоугольник

Такой многоугольник имеет 2 пары равных сторон, а градусная мера его углов – 90°. Для нахождения его площади справедливы следующие выражения:

S = k*l,
k, l – стороны фигуры.
S = d²*sinβ/2,
d – диагонали четырехугольника, β – угол – результат их пересечения.
S = 2R²*sinβ,
R – радиус в случае описанной окружности.