Как найти диагональ трапеции

Знакомство с трапецией впервые происходит при изучении курса планиметрии. Хотя и до этого вы наверняка встречали предметы, форма которых совпадает с данной геометрической фигурой. Четырехугольник отличается тем, что только 2 из его четырех сторон параллельны. Если соединить противолежащие вершины фигуры отрезками, то получим ее диагонали. Как определить их длину? Величина этих отрезков связана с углами фигуры, длиной ее сторон и высоты.

1
Диагонали и углы трапеции

Если перед вами произвольная трапеция с известными углами в основании, а также боковыми сторонами и основанием, то в определении величины диагоналей поможет следующее соотношение:

d1 = √a² + d² – 2ad*cosβ,
d2 = √a² + c² – 2ac*cosα,

d1, d2 – искомые диагонали,
a – основание,
c, d – боковые стороны,
β, α – углы, лежащие в основании.

В его основе лежит теорема косинусов, позволяющая в треугольнике определить длину стороны, используя известные величины двух других сторон, а также угла, лежащего против искомой стороны.

2
Диагонали и стороны трапеции

При наличии известных всех четырех сторон фигуры для нахождения ее диагоналей можно использовать выражения:

d1 = √ d² + ab – (a(d² – c²)/(a-b)),
d2 = √ c² + ab – (a(c² – d²)/(a-b)).

Взаимосвязь между диагоналями:

d1² + d2² = c² + d² + 2ab,
d1 = √c² + d² + 2ab – d2²,
d2 = √c² + d² + 2ab – d1²,

Как в первом, так и во втором случаях:
d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
c, d – боковые стороны.

3
Диагонали и высота трапеции

При известном значении одного из оснований фигуры или боковой стороны, угла при нижнем основании, а также высоты четырехугольника, с определением длин диагоналей также не возникнет сложностей.

d1 = √h² + (a – h*ctgβ)²,
d1 = √h² + (b + h*ctgα)²,
d1 = √a² + d² – 2a √d² – h²,

d1 = √h² + (a – h*ctgα)²,
d1 = √h² + (b + h*ctgβ)²,
d1 = √a² + c² – 2a √c² – h²,

d1, d2 – искомые диагонали,
a, b – основания,
β, α – углы, лежащие в основании.
c, d – боковые стороны,
h – высота фигуры.

4
Диагонали и средняя линия трапеции

Если в числе заданных величин присутствует средняя линия, то с ее помощью также можно вычислить длину диагоналей фигуры. Соотношение верно лишь в случаях, когда sinφ = sin γ.

Т.к. l = d1*d2*sinφ/2h = d1*d2*sin γ/2h,

d1 = 2hl/ d2*sinφ = 2hl/ d2*sin γ,
d2 = 2hl/ d1*sinφ = 2hl/ d1*sin γ,

d1, d2 – искомые диагонали,
φ, γ – углы между ними,
h – высота фигуры,
l – ее средняя линия.

5
Фигура равнобокая

Если по условиям задания трапеция имеет равные боковые стороны, то выражения для нахождения диагоналей фигуры преобразуются с учетом того, что c=d:

d1 = d2 = √c² + ab,
d1 = d2 = √a² + c² – 2ac*cosα,
d1 = d2 = √a² + c² + 2ac*cosβ,
d1 = d2 = √b² + c² – 2bc*cosβ,
d1 = d2 = √b² + c² + 2bc*cosα,
d1 = d2 = √h² + l²,
d1 = d2 = √h² + (a+b)²/4,
d1 = d2 = √h*(a+b)/sinφ = √2S/ sinφ = √2lh/sinφ (sinφ = sin γ),