Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.
1
Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x0) = df/dx·x0. Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: dx0f = f′(x0)·dx0x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем.
2
Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x3-x4. Сначала найдём производную от функции: y′= (x3-x4)′ = (x3)′-(x4)′ = 3x2-4x3. Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x3-4x3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х.
3
Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-yx. Производная функции имеет такой вид: 2x-(yx)′. Но как получить (yx)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·yx-1, а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·yx-1·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·yx-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·yx-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·yx-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним.
4
Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d(x3)·(x3–2x6–x9), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x). Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x3. Получаем: d/d(u)·(u-2u2-u3) = (u-2u2-u3)′ = 1-4u-3u2. Возвращаем замену и получаем ответ – 1–x3–x6, x≠0.
5
Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис. Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам.
6
Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.
В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.
0
1141
