Многочлен представляет собой выражение, состоящее из суммы одночленов. Последние являются произведением константы (числа) и корня (или корней) выражения в степени k. В таком случае говорят о многочлене степени k. Разложение многочлена предполагает трансформацию выражения, при которой на смену слагаемых приходят множители. Рассмотрим основные способы проведения такого рода преобразования.
Метод разложения многочлена путем выделения общего множителя
Данный способ основывается на закономерностях распределительного закона. Так, mn + mk = m * (n + k).
- Пример: разложите 7y2 + 2uy и 2m3– 12m2 + 4lm.
7y2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m3– 12m2 + 4lm = 2m( m2– 6m + 2l).
Однако, множитель, присутствующий обязательно в каждом многочлене может найтись не всегда, поэтому данный способ не является универсальным.
Метод разложения многочлена на базе формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения справедливы для многочлена любой степени. В общем виде выражение-преобразование выглядит следующим образом:
uk– lk= (u – l)(uk-1 + uk-2* l + uk-3*l2+ … u * lk-2+ lk-1), где k является представителем натуральных чисел.
Наиболее часто на практике применяются формулы для многочленов второго и третьего порядков:
u2– l2 = (u – l)(u + l),
u3– l3 = (u – l)( u2 + ul + l2 ),
u3+ l3= (u + l)(u2 – ul + l2 ).
- Пример: разложите 25p2– 144b2 и 64m3– 8l3.
25p2– 144b2= (5p – 12b)(5p + 12b),
64m3– 8l3= (4m)3– (2l)3= (4m – 2l)((4m)2+ 4m * 2l + (2l)2) = (4m – 2l)(16m2 + 8ml + 4l2).
Метод разложения многочлена – группировка слагаемых выражения
Данный метод некоторым образом перекликается с техникой выведения общего множителя, но имеет некоторые отличия. В частности, перед тем, как выделять общий множитель, следует произвести группировку одночленов. В основе группирования лежат правила сочетательного и переместительного законов.
Все одночлены, представленные в выражении разбиваются на группы, в каждой из которых выносится общее значение такое, что второй множитель будет одинаковым во всех группах. В общем виде подобный способ разложения можно представить в виде выражения:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Пример: разложите 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Метод разложения многочлена – формирование полного квадрата
Данный способ является одним из наиболее эффективных в ходе разложения многочлена. На первоначальном этапе необходимо определить одночлены, которые можно “свернуть” в квадрат разности или суммы. Для этого используется одно из соотношений:
(p – b)2 = p2 – 2pb + b2,
(p + b)2 = p2 + 2pb + b2.
А далее преобразуете многочлен на основании формул сокращенного умножения.
- Пример: разложите выражение u4+ 4u2 – 1.
Выделим среди его одночленов слагаемые, которые образуют полный квадрат: u4+ 4u2 – 1 = u4+ 2 * 2u2 + 4 – 4 – 1 =
= (u4+ 2 * 2u2 + 4) – 4 – 1 = (u4+ 2 * 2u2 + 4) – 5.
Далее сворачиваете выражение в скобках согласно формуле полного квадрата: (u4+ 2 * 2u2 + 4) – 5 = (u2+ 2)2– 5.
Завершаете преобразование, используя правила сокращенного умножения: (u2+ 2)2– 5 = (u2+ 2 – √5)(u2+ 2 + √5).
Т.о. u4+ 4u2 – 1 = (u2+ 2 – √5)(u2+ 2 + √5).
854
