Как найти тангенс угла по клеточкам

Вычисление такой величины как тангенс может потребоваться как в ходе решения тригонометрических уравнений, так и при поиске ответа задачи по геометрии. Именно во втором случае хорошим подспорьем может оказаться наличие графического изображения угла, тангенс которого необходимо найти, на разлинованной в клеточку бумаге. Как это сделать – читайте в данной статье.

1

Работа с прямоугольными треугольниками

Прежде, чем приступить к нахождению такой величины как тангенс, необходимо определиться с терминологией. Так понятие “тангенс угла” характеризует отношение противолежащего данному угла катета к прилежащему. Т. о. работа ведется в пределах прямоугольного треугольника.

Суть описанного далее алгоритма заключается в работе с прямоугольными треугольниками в рамках непосредственно определения тангенса.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

• Установите т. B на луче OB в месте его прохождения через вершину клетки.
• Из т. B опускаете перпендикуляр на луч OA. Место пересечения отмечаете как т. C.
• В результате получается прямоугольный ΔBOC, в котором находится угол ∠AOB (очевидно, что ∠BOC = ∠AOB), тангенс которого необходимо найти.
• Исходя из определения тангенса, tg∠AOB = BC / OC. Глядя на рисунок, несложно заметить что длина катета BC складывается из трех диагоналей клеток. При этом длина катета OC соответствует диагонали одной клетки. Следовательно, BC = 3OC.
• tg∠AOB = 3OC/OC = 3.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

Расчет tg∠AOB будет основан на том, что tg(η – λ) = (tgη – tgλ) / (1 + tgη*tgλ).

• В одной из точек прохождения лучами OA и OB вершин клеток-квадратов отмечаете т. A и т. B соответственно.
• Опускаете из них перпендикуляры. В результате вы получаете 2 прямоугольных треугольника – ΔOMB и ΔOLA.
• “Расчетный” ∠AOB является разностью углов ∠AOL и ∠BOM: ∠AOB = ∠AOL – ∠BOM.
• tg∠AOB = tg(∠AOL – ∠BOM) = (tg∠AOL – tg∠BOM) / (1 + tg∠AOL*tg∠BOM). Т. о. нахождение искомой величины сводится к нахождению тангенсов углов в построенных прямоугольных треугольниках.
• tg∠AOL = AL / OL. Обратившись к рисунку заметно, что AL = 2OL. Поэтому tg∠AOL= 2OL / OL = 2.
• tg∠BOM = BM / OM. Обратившись к рисунку видно, что OM=6BM. Поэтому tg∠BOM = BM / 6BM = 1/6.

tg∠AOB = (2 – 1/6) / (1 + 2/6) = 11*3 / 6*4 = 11/8 ⇒ tg∠AOB = 1,375.

2

Использование теоремы косинусов

Задача – определить тангенс ∠AOB.

• т. A и т. B устанавливаете в точках прохождения лучей заданного угла через вершины клеток-квадратов. Опускаете из них перпендикуляры. Также отрезком соединяете между собой т. A и т. B.
• Ваша задача – вычислить длины сторон получившегося ΔAOB. Для этого обращаемся к теореме Пифагора.

1. AO = √OK² + AK², установив длину стороны клетки как условную 1, получаем AO = √9 + 1=√10.
2. OB = √BP² + OP², т. к. длина стороны клетки равна 1, получаем OB = √4 + 1 = √5.

• Согласно теореме косинусов, AB² = AO² + OB² – 2AO*OB*cos∠AOB ⇒ cos∠AOB = (AO² + OB² – AB²) / 2AO*OB. Подставив числовые значения, получаем:

cos∠AOB = (10 + 5 – 25) / 2√5√10;

cos∠AOB = -10/2√5√10;

cos∠AOB = -1/√2.

• Далее воспользуемся основным тождеством тригонометрии: sinβ² + cosβ² = 1.

sin∠AOB = √1-1/2 = 1/√2.

• Известно, что tg∠AOB = sin∠AOB / cos∠AOB = -√2 / √2 ⇒ tg∠AOB = -1.

В зависимости от угла, тангенс которого необходимо найти, выбирайте наиболее подходящий, а главное “рабочий” алгоритм.