Как найти синус?

Решение многих как алгебраических, так и геометрических задач невозможно без использования такой тригонометрической функции как синус. Для нахождения величины синуса можно использовать как собственно определение функции, так и соотношения тождеств тригонометрии, формулы приведения, а также теорему синусов. С каждым из данных способов более подробно и познакомит данная статья.

1

Нахождение величины синуса по определению

Формулировка термина “синус” определяет данную тригонометрическую величину как соотношение определенных сторон прямоугольного треугольника – отношение катета, лежащего против искомого угла, к гипотенузе.

Рассмотрим ΔDFG, ∠DFG = 90°. Тогда:

• sinD = FG / DG,
• FG — противолежащий катет,
• DG — гипотенуза представленного треугольника.

2

Нахождение величины синуса через формулу теоремы синусов

Данная теорема является универсальной, т.к. позволяет установить соотношение между углами и сторонами не только прямоугольного, то и произвольного треугольника.

Рассмотрим ΔLMN,

• MN = l, NL = m, ML = n.
• ∠M = η, ∠N = μ, ∠L = γ.

Для произвольного треугольника ΔLMN верно соотношение l / sinL = m / sinM = n / sinN – каждая сторона треугольника пропорциональна синусу угла, напротив которого она располагается.

Обозначив радиус описанной около треугольника окружности через R, соотношение теоремы синусов справедливо в следующей форме:

l / sinL = m / sinM = n / sinN = 2R.

Из соотношения следует:

sinL = l / 2R,

sinM = m / 2R,

sinN = n / 2R.

3

Нахождение величины синуса через площадь треугольника

Перед вами  ΔDBC со сторонами

DB = c,

BC = d,

DC = b.

Для нахождения площади треугольника можно воспользоваться соотношением S = bc / 2sinD (или S = cd / 2sinB, или S = bd / 2sinC). Из этого следует, что:

• sinD = bc / 2S,
• sinB = cd / 2S,
• sinC = bd / 2S.

4

Нахождение величины синуса через тождества тригонометрии

Тождественные выражения справедливы для угла любой градусной меры.

• cos²φ + sin²φ = 1 ⇒ sin²φ = 1 — cos²φ ⇒ ΙsinφΙ = √ 1 — cos²φ ⇒ sinφ = ±√ 1 — cos²φ.
• tgφ = sinφ / cosφ ⇒ sinφ = cosφ * tgφ.
• ctgφ = cosφ / sinφ ⇒ sinφ = cosφ / ctgφ.
• 1/sin²φ = ctg²φ + 1 ⇒ sin²φ = 1 / (ctg²φ + 1) ⇒ ΙsinφΙ = 1 / √ctg²φ + 1 ⇒ sinφ = ± 1 / √ctg²φ + 1.

5

Нахождение величины синуса через формулы преобразования

• sin(η + μ) = sinη * cosμ + cosη * sinμ,
• sin(η – μ) = sinη * cosμ – cosη * sinμ,
• sinη + sinμ = 2sin((η + μ)/2) * cos((η – μ)/2),
• sinη – sinμ = 2cos((η + μ)/2) * sin((η – μ)/2)
• sinη * sinμ = (cos(η – μ) – cos(η + μ))/2,
• sinη = 2tg(η/2) / (1 + tg²(η/2)).
• sin2η =2sinη * cosη,
• sin3η =3sinη – 4sin³η.

6

Нахождение синуса угла – табличные величины

Воспользовавшись таблицей Брадиса, можно определить значение синуса для каждого угла в промежутке от 0° до 360°. Наиболее часто при решении задач школьного курса геометрии используются следующие табличные величины:

• sin0° = 0,                                      sin90° = 1,
• sin30° = 1/2,                                 sin180° = 0,
• sin60° = √3/2,                               sin270° = -1,
• sin45° = √2/2,                               sin360° = 0.