Что такое синус?

Знакомство с такой тригонометрической функцией как синус происходит еще в школьном курсе алгебры. Что она собой представляет? Какими свойствами обладает? Как взаимосвязан синус с другими функциями тригонометрии, такими как косинус, тангенс и котангенс?

1

Геометрическое определение синуса

Для того, чтобы сформулировать определение синуса, обратимся к единичной окружности. Центр ее будет лежать в точке пересечения осей x и y декартовой системы координат. Обозначим данную точку как т. O, ее координаты – (0,0). Радиус данной окружности R = 1. Далее построим прямоугольный треугольник. Для этого:

• Возьмите на единичной окружности произвольную т. P. Ее координаты – (x,y).
• Через т. P проведите вертикаль, которая будет образовывать с осью Ox угол 90°.
• Точку пересечения данной вертикали с осью Ox обозначим т. L.
• В результате образовались отрезки PL = y и OL = x.
• Соедините т. P (x,y) и начало координат – т. O (0,0). Отрезок OP = R = 1.
• Полученный ∠LOP обозначим как μ.

Синусом угла μ называется отношение ординаты y (PL) к радиусу окружности R (OP). Т.к. отрезки PL и OP являются соответственно катетом и гипотенузой треугольника ΔOPL с ∠OLP = 90°, то понятие синус характеризует соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Синус угла – это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

2

Определение синуса для произвольного угла

Рассмотрим произвольную окружность радиуса b. ∠η образован осью абсцисс O_x и радиус-вектором OB (b_x,b_y) (т. B принадлежит окружности). Опустим перпендикуляры из т. B на ось абсцисс и ось ординат. Исходя из формулировки синуса угла для прямоугольного треугольника, следует, что

sinη = b_y / b.

Синус произвольного угла, образованного радиус вектором и осью абсцисс, – это соотношение проекции данного вектора на ось ординат к длине радиус-вектора.

3

Определение синуса через тригонометрические тождества

Пользуясь основным  тождеством тригонометрии (sinμ² + cosμ² = 1), несложно заметить, что:

sinμ²  = 1 – cosμ² ⇒ ΙsinμΙ = √1 – cosμ²

sinμ = ± √1 – cosμ².

Положительное или отрицательное значение синуса определяет четверть координатной плоскости, в которую попадает угол. Так, в первой и второй четвертях значение синуса будет положительным. в то время как в третьей и четвертой четвертях функция примет отрицательное значение.

4

График и свойства функции синус

Чтобы построить график функции синус, переместимся в декартову систему координат. Отмечая последовательно значения на плоскости при движении вдоль оси O_x, начертим график искомой функции. Отчетливо видны следующие свойства синуса:

• Областью определения функции являются все действительные числа.
• При этом область значения ограничена – от -1 до 1 включительно.
• Функция периодическая. Повтор значений происходит через 2π (т.е. 360°)
• При этом sin(- μ) = – sinμ. Значит функция синус является нечетной.

5

Определение синуса через формулы приведения

Возвращаясь к единичной окружности, можно заметить, что:

sinμ = y / R. Т.к. R = 1, y / 1 = y ⇒ sinμ = y.

sin(π/2 + η) = cosη,                                 sin(π + η) = – sinη,

sin(π/2 — η) = cosη,                               sin(π — η) = sinη,

sin(3π/2 + η) = -cosη,                             sin(2π + η) = sinη,

sin(3π/2 — η) = -cosη,                            sin(2π — η) = -sinη.

Т.к. синуса есть функция периодическая и период ее составляет 2π (360°), приведенные выше соотношения справедливы и в общем случае:

sin(2πk + η) = sinη,

sin(π/2 + η + 2πk) = cosηη,                              sin(π + η + 2πk) = -sinη,

sin(π/2 — η + 2πk) = cosηη,                            sin(π — η + 2πk) = sinη,

sin(3π/2 + η + 2πk) = -cosηη,                          sin(2π + η + 2πk) = sinη,

sin(3π/2 — η + 2πk) = -cosηη,                         sin(2π — η + 2πk) = -sinη, где k — любое число из области действительных чисел.