Что такое дискриминант?

Решение алгебраического уравнения, по большему счету, сводится к отысканию его корней. Вычисление дискриминанта заданного выражения позволит не только выяснить число решений уравнения (корней), но и определить их принадлежность вещественному или комплексному числовому множеству. Наиболее часто термин дискриминант используется при работе с квадратным уравнениями.

1

Дискриминант – что это такое?

Термин “дискриминант” неразрывно связан с понятием многочлена – выражения вида

p(β) = a₀*βⁿ + a₁*β^n-1 + a₂*β^n-2 + … + a_n-1*β + a_n, где

β – неизвестная переменная,

a_n, a_n-1, a_n-2, … a₁ и a₀ – числовые постоянные (константы).

Т.о. дискриминантом многочлена p(β) с корнями β₁, β₂ … β_n является произведение вида a₀ ^2n-2 ∏(β_i – β_j)², при этом i ‹ j.

Обозначается данная характеристика буквой D: D(β) = a₀ ^2n-2 ∏(β_i – β_j)².

2

Дискриминант уравнений второго порядка

Наиболее часто понятие “дискриминант” используется при работе с квадратными уравнениями. Уравнение второй степени (или квадратное уравнение) – это выражение, максимальное возведение переменной в котором равно 2.

Общий вид: a*m² + b*m + c = 0, где:

a, b, c – числовые константы,

m – неизвестная переменная.

Если присутствуют все 3 слагаемых, то говорят, что уравнение полное. Если какой-либо из членов отсутствует, перед вами соответственно неполное уравнение степени 2.

Дискриминант в таком случае представляет некую вспомогательную величину, которая позволяет не только установить количество решений уравнения, но и однозначно определить их значение. Исходя из соотношений в формуле для нахождения дискриминанта уравнения n-ого порядка, искомое выражение трансформируется следующим образом:

D = b² – 4 a*c, где:

• a – числовая константа перед переменной в старшей (2-й) степени,
• b – постоянное числовое выражение перед переменной первой степени,
• c – свободный член уравнения.

3

Взаимосвязь дискриминанта и корней квадратного уравнения

 Для нахождения корней уравнения второго порядка справедливым будет следующее соотношение:

m_1,2 = (-b ± √D)/ 2a, где

m_1,2– решения квадратного уравнения.

Из этого соотношения несложно заметить, что:

• Если значение дискриминанта – величина положительная (D > 0), то уравнение имеет 2 различных по значению вещественных корня.
• Если дискриминант имеет отрицательное значение (D < 0), то уравнение имеет также 2 отличных между собой решения, но находятся они уже среди множества комплексных чисел.
• Если величина дискриминанта тождественна нулю (D = 0), то выражение имеет 2 равных между собой вещественных решения.

4

Определение дискриминанта – физический смысл

Связь числа решений уравнения второго порядка и величины дискриминанта имеет также и графическое обоснование. Физически суть решения квадратного уравнения – это фиксирование нулей параболы (точек пересечения с осью абсцисс), которую оно задает. Наглядно данную взаимосвязь иллюстрируют изображения ниже.