Як вирішувати квадратні рівняння

Квадратні рівняння - база на якій будується майже вся шкільна математика. Але буває, що і основи вилітають з голови.В цій статті ми детально розберемо види квадратних рівнянь і їх рішення, так що ви з легкістю зможете вирішувати їх самі.

1

Що таке квадратні рівняння?

Це рівняння виду ax² +  bx +  c = 0

де, a ≠ 0, b, c - числа; x - змінна.

Рівняння бувають без коренів, з одним коренем і двома різними країнами.

Знайти корені можна двома способами:

1. через дискримінант;
2. по теоремі Вієта.

2

дискримінант

Знаходимо його за формулою D \u003d b ² - 4ac.
Власне, з що вийшло відповіді і визначаємо:

1. D \u003c0, коренів немає;
2. D \u003d 0, тільки один корінь;
3. D\u003e 0, два кореня.

Знаходимо корені за формулами:

1. коренів немає.
2. x \u003d -b / 2а
3. x1 \u003d (-b + √D) / 2а; x2 \u003d (-b - √D) / 2а

приклад:

1. 3x ² + 4x + 3 \u003d 0

a \u003d 3; b \u003d 4; c \u003d 3;

D \u003d 4 ² - 4 · 3 · 3 \u003d 0.

Корній немає.

2. x ² - 6x + 9 \u003d 0.

a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;

D \u003d (-6) ² - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

x \u003d -b / 2а \u003d 6/2 \u003d 3

Один корінь: x \u003d 3

3. x ² - 5x + 6 \u003d 0

a \u003d 1; b \u003d -5; c \u003d 6;

D =  b² - 4 ac \u003d (-5) ²- 4 · 1 · 6 \u003d 25 - 24 \u003d 1

х1 \u003d ( −(−

х2 \u003d ( −(−

Відповідь: х1 \u003d 3; х2 \u003d 2

3

теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння виду:

• x ² + Px + q \u003d 0

Коефіцієнт a \u003d 1, сума коренів \u003d −p, твір \u003d q.
Якщо x1 і x2 - корені наведеного квадратного рівняння, то:

x ² + Px + q \u003d 0
x1 + x2 \u003d −p; x1 · x2 \u003d q

4

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Якщо p, q, x1, x2 такі, що:

x1 + x2 \u003d −p; x1 · x2 \u003d q
то x1, x2 - корені рівняння x ² + Px + q \u003d 0

приклад:

x ² - 10x + 21 \u003d 0.

х1 + х2 \u003d 10; x1 · x2 \u003d 21

Легко помітити, що цим равенствам підходять числа 3 і 7.

5

винятки

Але і в рішенні рівнянь є особливі випадки - неповні рівняння.

1. a x²+ C \u003d 0, b дорівнює 0;
2. a x² + Bx \u003d 0, з дорівнює 0;
3. a x² \u003d 0, b і з дорівнюють 0.

Але не варто переживати: такі рівняння легко вирішуються (можна вирішувати і через дискримінант).

приклад:

5x²​​  = 0

5x²/ 5 \u003d 0/5

x²​​  = 0

x  = 0

відповідь: x  = 0

От і все! Як бачите, вирішувати квадратні рівняння виявилося не так-то важко, так що тепер справа за вами.

​​