Многочлен є вираз, що складається з суми одночленним. Останні є твором константи (числа) і кореня (або коренів) вираження в ступені k. У такому випадку говорять про многочлене ступеня k. Розкладання многочлена передбачає трансформацію вираження, при якій на зміну складових приходять множники. Розглянемо основні способи проведення такого роду перетворення.
Метод розкладання многочлена шляхом виділення загального множника
Даний спосіб грунтується на закономірностях розподільного закону. Так, mn + mk \u003d m * (n + k).
- приклад:розкладіть 7y 2+ 2uy і 2m 3- 12m 2 + 4lm.
7y 2+ 2uy \u003d y * (7y + 2u),
2m 3- 12m 2 + 4lm \u003d 2m (m 2- 6m + 2l).
Однак, множник, присутній обов'язково в кожному многочлене може знайтися не завжди, тому даний спосіб не є універсальним.
Метод розкладання многочлена на базі формул скороченого множення
Формули скороченого множення справедливі для многочлена будь-якого ступеня. У загальному вигляді вираз-перетворення виглядає наступним чином:
u k- l k\u003d (U - l) (u k-1 + u k-2* L + u k-3* l 2+ ... u * l k-2+ l k-1), Де k є представником натуральних чисел.
Найбільш часто на практиці застосовуються формули для многочленів другого і третього порядків:
u 2- l 2\u003d (U - l) (u + l),
u 3- l 3\u003d (U - l) (u 2+ Ul + l 2),
u 3+ l 3\u003d (U + l) (u 2 - ul + l 2).
- приклад:розкладіть 25p 2- 144b 2і 64m 3- 8l 3.
25p 2- 144b 2\u003d (5p - 12b) (5p + 12b),
64m 3- 8l 3\u003d (4m) 3- (2l) 3\u003d (4m - 2l) ((4m) 2+ 4m * 2l + (2l) 2) \u003d (4m - 2l) (16m 2 + 8ml + 4l 2).
Метод розкладання многочлена - угруповання доданків вирази
Даний метод деяким чином перегукується з технікою виведення загального множника, але має деякі відмінності. Зокрема, перед тим, як виділяти загальний множник, слід зробити угруповання одночленним. В основі групування лежать правила асоціативного і переместітельного законів.
Все одночлени, представлені в вираженні розбиваються на групи, в кожній з яких виноситься загальне значення таке, що другий множник буде однаковим у всіх групах. У загальному вигляді подібний спосіб розкладання можна представити у вигляді виразу:
pl + ks + kl + ps \u003d (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps \u003d p (l + s) + k (l + s),
pl + ks + kl + ps \u003d (p + k) (l + s).
- приклад:розкладіть 14mn + 16ln - 49m - 56l.
14mn + 16ln - 49m - 56l \u003d (14mn - 49m) + (16ln - 56l) \u003d 7m * (2n - 7) + 8l * (2n - 7) \u003d (7m + 8l) (2n - 7).
Метод розкладання многочлена - формування повного квадрата
Даний спосіб є одним з найбільш ефективних в ході розкладання многочлена. На початковому етапі необхідно визначити одночлени, які можна "згорнути" в квадрат різниці або суми. Для цього використовується одне з співвідношень:
(P - b) 2\u003d p 2- 2pb + b 2,
(P + b) 2\u003d p 2+ 2pb + b 2.
А далі перетворюєте многочлен на підставі формул скороченого множення.
- приклад: розкладіть вираз u 4+ 4u 2 - 1.
Виділимо серед його одночленним складові, які утворюють повний квадрат: u 4+ 4u 2 - 1 \u003d u 4+ 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 \u003d
\u003d (U 4+ 2 * 2u 2 + 4) - 4 - 1 \u003d (u 4+ 2 * 2u 2 + 4) - 5.
Далі звертаєте вираз в дужках відповідно до формули повного квадрата: (u 4+ 2 * 2u 2 + 4) - 5 \u003d (u 2+ 2)2– 5.
Завершуєте перетворення, використовуючи правила скороченого множення: (u 2+ 2)2- 5 \u003d (u 2+ 2 - √5) (u 2+ 2 + √5).
Т.ч. u 4+ 4u 2 - 1 \u003d (u 2+ 2 - √5) (u 2+ 2 + √5).
360
