Як знайти кут між векторами?

Знання і розуміння математичних термінів допоможе у вирішенні багатьох завдань як курсу алгебри, так і геометрії. Не менш важлива роль відводиться формулами, що відображає взаємозв'язки між математичними характеристиками.

1

Кут між векторами - пояснення термінології

Для того, щоб сформулювати визначення кута між векторами, необхідно з'ясувати, що має на увазі термін "вектор". Дане поняття характеризує ділянку прямої, що має початок, довжину і напрямок. Якщо перед вами зображено 2 спрямованих відрізка, які беруть свій початок в одній і тій же точці, отже вони утворюють кут.

Т.ч. термін "кут між векторами" визначає градусну міру найменшого кута, на який слід повернути один спрямований відрізок (щодо початкової точки), щоб він зайняв положення / напрямок другого спрямованого ділянки прямої. Дане твердження поширюється на вектора, що виходять з однієї точки.

Градусна міра кута між двома спрямованими ділянками прямої, що беруть початок в одній точці укладена в відрізку від 0 º до 180 º. Позначається ця величина як ∠ (ā, ū) - кут між направленими відрізками ā і ū.

2

Розрахунок кута між векторами

Обчислення градусної міри кута, утвореного парою спрямованих частин прямої, проводиться з використанням наступної формули:

cosφ \u003d (ō, ā) / | ō | · | ā |, ⇒ φ \u003d arccos (cosφ).

∠φ - шуканий кут між заданими векторами ō і ā,

(Ō, ā) - твір скалярів спрямованих частин прямої,

| Ō | · | ā | - твір довжин заданих спрямованих відрізків.

Визначення скалярного твори спрямованих ділянок прямий

Як скористатися цією формулою і визначити значення чисельника і знаменника представленого співвідношення?

Залежно від системи координат (декартова або тривимірний простір), в якій розташовуються задані вектори, кожен спрямований відрізок має наступні параметри:

ō = { o_x, o_y}, ā = { a _x,  a_y) або

ō = { o_x,  o_y, o_z}, ā = { a _x,  a_y, a_z}.

Отже, для знаходження значення чисельника - скаляра спрямованих відрізків - слід зробити такі дії:

(ō,ā) = ō * ā =  o_x*  a _x+  o_y* a_y, Якщо розглянуті вектора лежать на площині

(ō,ā) = ō * ā =  o_x*  a _x+  o_y* a_y+  o_z*  a_z, Якщо спрямовані ділянки прямої розташовуються в просторі.

Визначення довжин векторів

Довжина спрямованого відрізка обчислюється із застосуванням виразів:

|ō| = √ o_x²+  o_y²або | ō | \u003d √ o_x²+  o_y²+  o_z²

| Ā | \u003d √ a _x²+  a_y²або | ā | \u003d √ a_x²+ a_y²+ a_z²

Т.ч. в загальному випадку n-мірного вимірювання вираз для визначення градусної міри кута між направленими відрізками ō \u003d ( o_x,  o_y... o_n) І ā \u003d ( a _x,  a_y, ... a_n) виглядає так:

φ \u003d arccos (cosφ) \u003d arccos (( o_x*  a _x+  o_y* a_y+ … +  o_n*  a_n) / (√  o_x²+  o_y²+ … +  o_n² * √  a_x²+  a_y²+ … +  a_n²) ).

3

Приклад розрахунку кута між направленими відрізками

Згідно умови, задані вектора ī \u003d (3; 4; 0) і ū \u003d (4; 4; 2). Яка градусна міра кута, утвореного даними відрізками?

Визначаєте скаляр векторів ī і ū. Для цього:

i * u \u003d 3 * 4 + 4 * 4 + 0 * 2 \u003d 28

Після обчислюєте довжини відрізків:

| Ī | \u003d √9 + 16 + 0 \u003d √25 \u003d 5,

| Ū | \u003d √16 + 16 + 4 \u003d √36 \u003d 6.

cos (ī, ū) \u003d 28/5 * 6 \u003d 28/30 \u003d 14/15 \u003d 0,9 (3).

Скориставшись таблицею значень косинусів (Брадіса), визначаєте величину шуканого кута:

cos (ī, ū) \u003d 0.9 (3) ⇒ ∠ (ī, ū) \u003d 21 ° 6 '.