Обчислення такої величини як тангенс може знадобитися як в ході вирішення тригонометричних рівнянь, так і при пошуку відповіді завдання з геометрії. Саме в другому випадку гарною підмогою може виявитися наявність графічного зображення кута, тангенс якого необхідно знайти, на розлініяної в клітинку папері. Як це зробити - читайте в даній статті.
Робота з прямокутними трикутниками
Перш, ніж приступити до знаходження такої величини як тангенс, необхідно визначитися з термінологією. Так поняття "тангенс кута" характеризує відношення протилежного даному кута катета до прилеглого. Т. о. робота ведеться в межах прямокутного трикутника.
Суть описаного далі алгоритму полягає в роботі з прямокутними трикутниками в рамках безпосередньо визначення тангенса.
завдання - визначити тангенс ∠AOB.
- Встановіть т. B на промені OB в місці його проходження через вершину клітини.
- З т. B опускаєте перпендикуляр на промінь OA. Місце перетину відзначаєте як т. C.
- В результаті виходить прямокутний ΔBOC, в якому знаходиться кут ∠AOB (очевидно, що ∠BOC \u003d ∠AOB), тангенс якого необхідно знайти.
- Виходячи з визначення тангенса, tg∠AOB \u003d BC / OC. Дивлячись на малюнок, нескладно помітити що довжина катета BC складається з трьох діагоналей клітин. При цьому довжина катета OC відповідає діагоналі однієї клітини. Отже, BC \u003d 3OC.
- tg∠AOB \u003d 3OC / OC \u003d 3.
завдання - визначити тангенс ∠AOB.
Розрахунок tg∠AOB буде заснований на тому, що tg (η - λ) \u003d (tgη - tgλ) / (1 + tgη * tgλ).
- В одній з точок проходження променями OA і OB вершин клітин-квадратів відзначаєте т. A і т. B відповідно.
- Опускаєте з них перпендикуляри. В результаті ви отримуєте 2 прямокутних трикутника - ΔOMB і ΔOLA.
- "Розрахунковий" ∠AOB є різницею кутів ∠AOL і ∠BOM: ∠AOB \u003d ∠AOL - ∠BOM.
- tg∠AOB \u003d tg (∠AOL - ∠BOM) \u003d (tg∠AOL - tg∠BOM) / (1 + tg∠AOL * tg∠BOM). Т. о. знаходження шуканої величини зводиться до знаходження тангенсов кутів в побудованих прямокутних трикутниках.
- tg∠AOL \u003d AL / OL. Звернувшись до малюнка помітно, що AL \u003d 2OL. Тому tg∠AOL \u003d 2OL / OL \u003d 2.
- tg∠BOM \u003d BM / OM. Звернувшись до малюнка видно, що OM \u003d 6BM. Тому tg∠BOM \u003d BM / 6BM \u003d 1/6.
tg∠AOB \u003d (2 - 1/6) / (1 + 2/6) \u003d 11 * 3/6 * 4 \u003d 11/8 ⇒ tg∠AOB \u003d 1,375.
Використання теореми косинусів
завдання - визначити тангенс ∠AOB.
- т. A і т. B встановлюєте в точках проходження променів заданого кута через вершини клітин-квадратів. Опускаєте з них перпендикуляри. Також відрізком сполучаєте між собою т. A і т. B.
- Ваше завдання - обчислити довжини сторін отриманого ΔAOB. Для цього звертаємося до теоремі Піфагора.
- AO \u003d √OK 2+ AK 2, Встановивши довжину сторони клітини як умовну 1, отримуємо AO \u003d √9 + 1 \u003d √10.
- OB \u003d √BP 2+ OP 2, Т. К. Довжина сторони клітки дорівнює 1, отримуємо OB \u003d √4 + 1 \u003d √5.
- Згідно з теоремою косинусів, AB 2\u003d AO 2+ OB 2- 2AO * OB * cos∠AOB ⇒ cos∠AOB \u003d (AO 2+ OB 2- AB 2) / 2AO * OB. Підставивши числові значення, отримуємо:
cos∠AOB \u003d (10 + 5 - 25) / 2√5√10;
cos∠AOB \u003d -10 / 2√5√10;
cos∠AOB \u003d -1 / √2.
- Далі скористаємося основним тотожністю тригонометрії: sinβ 2+ cosβ 2= 1.
sin∠AOB \u003d √1-1 / 2 \u003d 1 / √2.
- Відомо, що tg∠AOB \u003d sin∠AOB / cos∠AOB \u003d -√2 / √2 ⇒ tg∠AOB \u003d -1.
Залежно від кута, тангенс якого необхідно знайти, вибирайте найбільш підходящий, а головне "робочий" алгоритм.
355
