Як знайти синус?

Рішення багатьох як алгебраїчних, так і геометричних завдань неможливо без використання такої тригонометричної функції як синус. Для знаходження величини синуса можна використовувати як власне визначення функції, так і співвідношення тотожності тригонометрії, формули приведення, а також теорему синусів. З кожним з цих методів докладніше і познайомить ця стаття.

1

Знаходження величини синуса по визначенню

Формулювання терміна "синус" визначає дану тригонометричну величину як співвідношення певних сторін прямокутного трикутника - відношення катета, що лежить проти шуканого кута, до гіпотенузи.

Розглянемо ΔDFG, ∠DFG \u003d 90 °. тоді:

• sinD \u003d FG / DG,
• FG - протилежний катет,
• DG - гіпотенуза представленого трикутника.

2

Знаходження величини синуса через формулу теореми синусів

Дана теорема є універсальною, тому що дозволяє встановити співвідношення між кутами і сторонами не тільки прямокутного, то і довільного трикутника.

Розглянемо ΔLMN,

• MN \u003d l, NL \u003d m, ML \u003d n.
• ∠M \u003d η, ∠N \u003d μ, ∠L \u003d γ.

Для довільного трикутника ΔLMN правильне співвідношення l / sinL \u003d m / sinM \u003d n / sinN - кожна сторона трикутника пропорційна синусу кута, навпроти якого вона розташовується.

Позначивши радіус описаного навколо трикутника кола через R, співвідношення теореми синусів справедливо в такій формі:

l / sinL \u003d m / sinM \u003d n / sinN \u003d 2R.

Зі співвідношення випливає:

sinL \u003d l / 2R,

sinM \u003d m / 2R,

sinN \u003d n / 2R.

3

Знаходження величини синуса через площу трикутника

Перед вами ΔDBC зі сторонами

DB \u003d c,

BC \u003d d,

DC \u003d b.

Для знаходження площі трикутника можна скористатися співвідношенням S \u003d bc / 2sinD (або S \u003d cd / 2sinB, або S \u003d bd / 2sinC). З цього виходить що:

• sinD \u003d bc / 2S,
• sinB \u003d cd / 2S,
• sinC \u003d bd / 2S.

4

Знаходження величини синуса через тотожності тригонометрії

Тотожні вирази справедливі для кута будь-градусної міри.

• cos ²φ + sin ²φ \u003d 1 ⇒ sin ²φ \u003d 1 - cos ²φ ⇒ ΙsinφΙ \u003d √ 1 - cos ²φ ⇒ sinφ \u003d ± √ 1 - cos ²φ.
• tgφ \u003d sinφ / cosφ ⇒ sinφ \u003d cosφ * tgφ.
• ctgφ \u003d cosφ / sinφ ⇒ sinφ \u003d cosφ / ctgφ.
• 1 / sin ²φ \u003d ctg ²φ + 1 ⇒ sin ²φ \u003d 1 / (ctg ²φ + 1) ⇒ ΙsinφΙ \u003d 1 / √ctg ²φ + 1 ⇒ sinφ \u003d ± 1 / √ctg ²φ + 1.

5

Знаходження величини синуса через формули перетворення

• sin (η + μ) \u003d sinη * cosμ + cosη * sinμ,
• sin (η - μ) \u003d sinη * cosμ - cosη * sinμ,
• sinη + sinμ \u003d 2sin ((η + μ) / 2) * cos ((η - μ) / 2),
• sinη - sinμ \u003d 2cos ((η + μ) / 2) * sin ((η - μ) / 2)
• sinη * sinμ \u003d (cos (η - μ) - cos (η + μ)) / 2,
• sinη \u003d 2tg (η / 2) / (1 + tg ²(Η / 2)).
• sin2η \u003d 2sinη * cosη,
• sin3η \u003d 3sinη - 4sin ³η.

6

Знаходження синуса кута - табличні величини

Скориставшись таблицею Брадіса, можна визначити значення синуса для кожного кута в проміжку від 0 ° до 360 °. Найбільш часто при вирішенні завдань шкільного курсу геометрії використовуються наступні табличні величини:

• sin0 ° \u003d 0, sin90 ° \u003d 1,
• sin30 ° \u003d  1/2, sin180 ° \u003d 0,
• sin60 ° \u003d √3 / 2, sin270 ° \u003d -1,
• sin45 ° \u003d √2 / 2, sin360 ° \u003d 0.