Як знайти косинус. Способи обчислення косинуса

Косинус є однією з основних тригонометричних функцій. Згідно визначення дана величина становить чисельне вираження відносини прилеглого катета (в прямокутному трикутнику) до гіпотенузи. Для знаходження величини cos кута можна скористатися даними про сторонах трикутника, формулами приведення або ж тригонометричними тотожністю. З кожним із способів більш докладно познайомимося далі.

1
Знаходження величини косинуса за визначенням

Визначення косинуса "прив'язує" цю тригонометричну функцію з прямокутного трикутника. Отже, перед вами зазначена фігура - трикутник MSP, ∠P \u003d 90 °. тоді:

cosM \u003d MP / MS,
cosS \u003d PS / MS, де
MP і PS - прилеглі (для кожного конкретного кута) катети,
MS - гіпотенуза заданого трикутника.

2
Знаходження величини косинуса кута між векторами

Перетин спрямованих відрізків прямої - векторів - веде до утворення кутів. Знайти їх косинус (а, значить, в наслідку і градусну міру) дозволяє визначення скалярного твори векторів. Дане формулювання передбачає перемножування довжин векторів на косинус кута, утвореного в результаті їх перетину. Т.ч., якщо у вас є 2 спрямованих відрізка ū і ō, то

ūō \u003d ū * ō \u003d (ū, ō) \u003d lūl * lōl * cos (ū, ō), ⇒
cos (ū, ō) \u003d (ū, ō) / lūl * lōl.
У проекції на координати декартової системи спрямовані відрізки мають параметри ū (x, y) \u003d (u (x), u (y)) і ō (x, y) \u003d (o (x), o (y)). Значить співвідношення набуває такого вигляду:
cos (ū, ō) \u003d (u (x) * o (x) + u (y) * o (y)) / lūl * lōl \u003d (u (x) * o (x) + u (y) * o (y)) / (√ (u (x) ²+ U (y) ²) * √o (x) ² + O (y) ²).

Якщо спрямовані відрізки задано не на площині, а в просторі, додається третя координата - z. Вираз знаходження косинуса перетвориться і буде мати наступний вигляд:

cos (ū, ō) \u003d (u (x) * o (x) + u (y) * o (y) + u (z) * o (z)) / lūl * lōl \u003d (u (x) * o (x) + u (y) * o (y) + u (z) * o (z)) / (√ (u (x) ²+ U (y) ² + U (z) ²) * √o (x) ² + O (y) ² + O (z) ².

3
Знаходження величини косинуса за допомогою формул приведення

Працюючи з формулами приведення для косинуса, необхідно розуміти і пам'ятати важливе правило - перехід від функції до кофункціі (в даному випадку перехід від cos до sin) відбувається при 90 ° і 270 °. При 180 ° і 360 ° такої трансформації не буде. Виходячи з цього, справедливими будуть наступні співвідношення:

cos (π / 2 - μ) \u003d sinμ,
cos (π / 2 + μ) \u003d -sinμ,
cos (π - μ) \u003d cos (π + μ) \u003d -cosμ,
cos (3π / 2 - μ) \u003d -sinμ,
cos (3π / 2 + μ) \u003d sinμ,
cos (2π - μ) \u003d cos (2π + μ) \u003d cosμ, де
μ - кут повороту.

Оскільки косинус є періодичною функцією з періодом 2πk, де k - довільне ціле значення, в загальному випадку вираження приведення придбають такий вигляд:

cos (μ + 2πk) \u003d cos (-μ + 2πk) \u003d cosμ,
cos (π / 2 - μ + 2πk) \u003d sinμ,
cos (π / 2 + μ + 2πk) \u003d -sinμ,
cos (π - μ + 2πk) \u003d cos (π + μ + 2πk) \u003d -cosμ,
cos (3π / 2 - μ + 2πk) \u003d -sinμ,
cos (3π / 2 + μ + 2πk) \u003d sinμ,
cos (2π - μ + 2πk) \u003d cos (2π + μ + 2πk) \u003d cosμ.

4
Знаходження величини косинуса через тригонометричні тотожності

Дані тотожності є вираження (рівності), справедливі для кута будь-градусної міри.

cos ²μ + sin ²μ \u003d 1 ⇒ cos ²μ \u003d 1 - sin ²μ ⇒ cosμ \u003d ± √ 1 - sin ²μ
tgμ \u003d sinμ / cosμ ⇒ cosμ \u003d sinμ / tgμ
ctgμ \u003d cosμ / sinμ ⇒ cosμ \u003d ctgμ * sinμ
1 / cos ²μ \u003d tg ²μ + 1 ⇒ cos ²μ \u003d 1 / (tg ²μ + 1) ⇒ cosμ \u003d ± 1 / √tg ²μ + 1

5
Знаходження косинуса кута - табличні величини

Для кожного кута, градусна міра якого знаходиться в проміжку від 0 ° до 360 °, можна визначити відповідне значення косинуса, скориставшись однойменної таблицею. Найбільш поширеними і часто використовуваними є наступні константи: