Знайомство з такою тригонометричної функцією як синус відбувається ще в шкільному курсі алгебри. Що вона собою являє? Якими властивостями володіє? Як взаємопов'язаний синус з іншими функціями тригонометрії, такими як косинус, тангенс і котангенс?
Геометричне визначення синуса
Для того, щоб сформулювати визначення синуса, звернемося до одиничному колі. Центр її буде лежати в точці перетину осей x і y декартової системи координат. Позначимо цю точку як т. O, її координати - (0,0). Радіус цієї окружності R \u003d 1. Далі побудуємо прямокутний трикутник. Для цього:
- Візьміть на одиничному колі довільну т. P. Її координати - (x, y).
- Через т. P проведіть вертикаль, яка буде утворювати з віссю Ox кут 90 °.
- Точку перетину даної вертикалі з віссю Ox позначимо т. L.
- В результаті утворилися відрізки PL \u003d y і OL \u003d x.
- З'єднайте т. P (x, y) і початок координат - т. O (0,0). Відрізок OP \u003d R \u003d 1.
- Отриманий ∠LOP позначимо як μ.
Синусом кута μ називається відношення ординати y (PL) до радіуса кола R (OP). Оскільки відрізки PL і OP є відповідно катетом і гіпотенузою трикутника ΔOPL з ∠OLP \u003d 90 °, то поняття синус характеризує співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.
Синус кута - це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи.
Визначення синуса для довільного кута
Розглянемо довільну окружність радіуса b. ∠η утворений віссю абсцис O x і радіус-вектором OB (b x, b y) (Т. B належить колу). Опустимо перпендикуляри з т. B на вісь абсцис і вісь ординат. Виходячи з формулювання синуса кута для прямокутного трикутника, випливає, що
sinη \u003d b y/ B.
Синус довільного кута, утвореного радіус вектором і віссю абсцис, - це співвідношення проекції даного вектора на вісь ординат до довжини радіус-вектора.
Визначення синуса через тригонометричні тотожності
Користуючись основним тотожністю тригонометрії (sinμ 2+ cosμ 2\u003d 1), нескладно помітити, що:
sinμ 2\u003d 1 - cosμ 2⇒ ΙsinμΙ \u003d √1 - cosμ 2
sinμ \u003d ± √1 - cosμ 2.
Позитивне або негативне значення синуса визначає чверть координатної площини, в яку потрапляє кут. Так, в першій і другій чвертях значення синуса буде позитивним. в той час як в третій і четвертій чвертях функція прийме негативне значення.
Графік і властивості функції синус
Щоб побудувати графік функції синус, перемістимося в декартову систему координат. Відзначаючи послідовно значення на площині при русі вздовж осі O x, Накреслив графік шуканої функції. Чітко видно такі властивості синуса:
- Областю визначення функції є всі дійсні числа.
- При цьому область значення обмежена - від -1 до 1 включно.
- Функція періодична. Повтор значень відбувається через 2π (тобто 360 °)
- При цьому sin (- μ) \u003d - sinμ. Це свідчить про те синус є непарною.
Визначення синуса через формули приведення
Повертаючись до одиничному колі, можна помітити, що:
sinμ \u003d y / R. Оскільки R \u003d 1, y / 1 \u003d y ⇒ sinμ \u003d y.
sin (π / 2 + η) \u003d cosη, sin (π + η) \u003d - sinη,
sin (π / 2 - η) \u003d cosη, sin (π - η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η) \u003d -cosη, sin (2π + η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η) \u003d -cosη, sin (2π - η) \u003d -sinη.
Оскільки синуса є функція періодична і період її становить 2π (360 °), наведені вище співвідношення справедливі і в загальному випадку:
sin (2πk + η) \u003d sinη,
sin (π / 2 + η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π + η + 2πk) \u003d -sinη,
sin (π / 2 - η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π - η + 2πk) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η + 2πk) \u003d -cosηη, sin (2π + η + 2πk) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η + 2πk) \u003d -cosηη, sin (2π - η + 2πk) \u003d -sinη, де k - будь-яке число з області дійсних чисел.
357
