Рішення алгебраїчного рівняння, за великим рахунком, зводиться до відшукання його коренів. Обчислення дискримінанту заданого виразу дозволить не тільки з'ясувати число рішень рівняння (корінь), а й визначити їх приналежність вещественному або комплексному числовому безлічі. Найбільш часто термін дискриминант використовується при роботі з квадратним рівняннями.
Дискримінант - що це таке?
Термін "дискриминант" нерозривно пов'язаний з поняттям многочлена - вираження виду
p (β) \u003d a0*β n+ a1*β n-1+ a2*β n-2+ … + an-1*β + an, де
β - невідома змінна,
an, an-1, an-2, … a1 і a0 - числові постійні (константи).
Т.ч. дискримінантом многочлена p (β) з корінням β 1, β 2 … β nє твір виду a0 2n-2∏(β i – β j)2, При цьому i \u003cj.
Позначається ця характеристика буквою D: D (β) \u003d a0 2n-2∏(β i – β j)2.
Дискримінант рівнянь другого порядку
Найбільш часто поняття "дискриминант" використовується при роботі з квадратними рівняннями. Рівняння другого ступеня (або квадратне рівняння) - це вираз, максимальне зведення змінної в якому дорівнює 2.
Загальний вигляд: a * m 2+ B * m + c \u003d 0, де:
a, b, c - числові константи,
m - невідома змінна.
Якщо присутні всі 3 доданків, то кажуть, що рівняння повне. Якщо який-небудь з членів відсутня, перед вами відповідно неповне рівняння ступеня 2.
Дискримінант в такому випадку представляє якусь допоміжну величину, яка дозволяє не тільки встановити кількість рішень рівняння, а й однозначно визначити їх значення. Виходячи з співвідношень в формулі для знаходження дискримінанту рівняння n-ого порядку, шукане вираз трансформується наступним чином:
D \u003d b 2 - 4 a * c, Де:
- a - числова константа перед змінної в старшій (2-й) ступеня,
- b - постійне числове вираз перед змінної першого ступеня,
- c - вільний член рівняння.
Взаємозв'язок дискримінанту і коренів квадратного рівняння
Для знаходження коренів рівняння другого порядку справедливим буде наступне співвідношення:
m 1,2 \u003d (-B ± √D) / 2a, де
m 1,2- рішення квадратного рівняння.
З цього співвідношення нескладно помітити, що:
- Якщо значення дискримінанту - величина позитивна (D\u003e 0), то рівняння має 2 різних за значенням речових кореня.
- Якщо дискримінант має від'ємне значення (D \u003c0), то рівняння має також 2 відмінних між собою рішення, але знаходяться вони вже серед безлічі комплексних чисел.
- Якщо величина дискримінанту тотожна нулю (D \u003d 0), то вираз має 2 рівних між собою речових рішення.
Визначення дискримінанту - фізичний зміст
Зв'язок числа рішень рівняння другого порядку і величини дискримінанту має також і графічне обгрунтування. Фізично суть рішення квадратного рівняння - це фіксування нулів параболи (точок перетину з віссю абсцис), яку воно задає. Наочно цю взаємозв'язок ілюструють зображення нижче.
355
