Kvadratiska ekvationer - basen på vilken nästan all skolmatematik är byggd. Men det händer att grunden flyger ut ur huvudet. I den här artikeln kommer vi att undersöka de typer av kvadratiska ekvationer i detalj och löser dem, så du kan enkelt lösa dem själv.
Vad är kvadratiska ekvationer?
Detta är visningsekvationerna yXA.2 + bx. + c. = 0
var, a ≠ 0, b, c - siffror; X - variabel.
Ekvationer är utan rötter, med en rot och två olika rötter.
Hitta rötterna på två sätt:
- genom diskriminering;
- på Vieta-teorem.
Diskriminerande
Vi finner det enligt formeln D \u003d B 2 - 4AC.
Faktiskt, enligt det resulterande svaret och bestämma:
- D \u003c0, inga rötter;
- D \u003d 0, bara en rot;
- D\u003e 0, två rötter.
Vi hittar rötter av formler:
1. Inga rötter.
2. x \u003d -b / 2a
3. x1 \u003d (-b + √D) / 2a; x2 \u003d (-b - √D) / 2a.
Exempel:
1. 3X 2 + 4x + 3 \u003d 0
a \u003d 3; B \u003d 4; C \u003d 3;
D \u003d 4. 2 - 4 · 3 · 3 \u003d 0.
Inga rötter.
2. X. 2 - 6x + 9 \u003d 0.
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.
x \u003d -b / 2a \u003d 6/2 \u003d 3
En rot: x \u003d 3
3. X. 2 - 5x + 6 \u003d 0
a \u003d 1; b \u003d -5; C \u003d 6;
D. = b.2 - 4. aC \u003d (-5) 2.- 4 · 1 · 6 \u003d 25 - 24 \u003d 1
x1 \u003d ( −(−
+√1) / 2·1 = 3x2 \u003d ( −(−
−√1) / 2·1 = 2Svar: x1 \u003d 3; x2 \u003d 2.
Vieta teorem
Den reducerade kvadratiska ekvationen av formen:
- x. 2 + px + q \u003d 0
Koefficient A \u003d 1, mängden av rötterna \u003d −p, arbete \u003d Q.
Om X1 och X2 är rötterna på den nuvarande kvadratiska ekvationen, då:
x. 2 + px + q \u003d 0
x1 + x2 \u003d −p; x1 · x2 \u003d Q.
Teorem, omvända teorem i Vieta
Om p, q, x1, x2 är sådana att:
x1 + x2 \u003d −p; x1 · x2 \u003d Q.
Då x1, x2 - rötter ekvation x 2 + px + q \u003d 0
Exempel:
x. 2 - 10x + 21 \u003d 0.
x1 + x2 \u003d 10; x1 · x2 \u003d 21.
Det är lätt att märka att dessa likheter är lämpliga för siffror 3 och 7.
Undantag
Men i att lösa ekvationer finns det speciella fall - ofullständiga ekvationer.
- a. x.2+ C \u003d 0, B är lika med 0;
- a. x.2 + Bx \u003d 0, c är 0;
- a. x.2 \u003d 0, b och c är 0.
Men du borde inte oroa dig: Sådana ekvationer löses lätt (du kan lösa genom diskrimineringen).
Exempel:
5x.2 = 0
5x.2/ 5 \u003d 0/5
x.2 = 0
x. = 0
Svar: x. = 0
Det är allt! Som du kan se var det inte så svårt att lösa torgets ekvationer, så nu handlar det om dig.
353
