Kunskap och förståelse för matematiska termer kommer att bidra till att lösa många problem som loppet av algebra och geometri. Inte mindre viktig roll ges till formler återspeglar förhållandet mellan de matematiska egenskaper.
Vinkeln mellan vektor - Förklaring av termer
För att formulera en definition av vinkeln mellan vektorerna, är det nödvändigt att ta reda på, vilket innebär att termen "vektor". Denna term karakteriserar ett rakt parti med en övre, en längd och en riktning. Om innan du 2 visas riktad segment som har sitt ursprung i en och samma punkt, så de bildar en vinkel.
Den där. Termen "vinkeln mellan vektorerna" definierar ett mått på den minsta-graders vinkel, vilket bör vända en riktningssektion (från startpunkten) att det tog positionen / riktningen för den andra raka delen riktas. Detta uttalande gäller vektorer som härrör från en enda punkt.
Grad mäta vinkeln mellan två riktade linjedelar med ursprung vid en punkt ligger i intervallet från 0 º till 180 º. Detta värde betecknas som en ∠ (A, U) - vinkeln mellan linjesegmenten riktade ä och u.
Beräkningen av vinkeln mellan vektorerna
Beräkning av graders åtgärder den vinkel som bildas av paret av raka delarna riktade, görs med hjälp av följande formel:
cos \u003d (O, A) / | o | · | a |, ⇒ φ \u003d arccos (cos).
∠φ - den önskade vinkeln mellan vektorerna ges O och A,
(O, A) - skalärprodukt syftar raka delar,
| O | · | a | - produkten av längderna av uppsättningen av riktade segment.
Definition av skalärprodukten av framåtriktningen sektionerna
Hur man använder denna formel för att bestämma värdet av täljare och nämnare i kvoten representerade?
Beroende på systemet av koordinater (kartesiskt eller tredimensionellt utrymme), i vilka är anordnade i förväg bestämda vektorer, har varje riktade linjesegment följande parametrar:
ō = { o.x., o.y.}, ā = { a. x., a.y.) eller
ō = { o.x., o.y., oz}, ā = { a. x., a.y., enz}.
Därför, för att hitta värdet av täljare - den scalalar av riktade segment - sådana åtgärder bör göras:
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* a. x.+ o.y.* A.y.om vektorn under övervägande ligger på planet
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* a. x.+ o.y.* A.y.+ o.z.* a.zOm riktade områdena direkt belägna i rymden.
Bestämning av vektorer
Längden på riktnings segment beräknas med användning av uttryck:
|ō| = √ o.x.2.+ o.y.2.eller | o | \u003d √ o.x.2.+ o.y.2.+ o.z2
| A | \u003d √ A. x.2.+ a.y.2.eller | a | \u003d √ a.x.2.+ a.y.2.+ a.z2
Den där. I det allmänna fallet med n-dimensionell mätning, till expressionen bestämma graden av vinkeln mellan de riktade segment O \u003d ( o.x., o.y.... O.n.) Och A \u003d ( a. x., a.y.... A.n.) Ser ut som:
O \u003d arccos (cos) \u003d arccos (( o.x.* a. x.+ o.y.* A.y.+ … + o.n.* a.n.) / (√ o.x.2.+ o.y.2.+ … + o.n.2 * √ a.x.2.+ a.y.2.+ … + a.n.2) ).
Ett exempel på beräkning av vinkeln mellan riktningssegment
Enligt villkoren, vektorerna i \u003d (3; 4; 0) och U \u003d (4; 4; 2) är givna. Vad är graden av hörnet som bildas av dessa segment?
Bestäm skalär vektorer I och u. För detta:
i * U \u003d 3 * 4 + 4 * 4 + 0 * 2 \u003d 28
Efter beräkning av längden av segmenten:
| I | \u003d √9 + 16 + 0 \u003d √25 \u003d 5,
| U | \u003d √16 + 16 + 4 \u003d √36 \u003d 6.
cOS (i, u) \u003d 28/5 * 6 \u003d 28/30 \u003d 14/15 \u003d 0,9 (3).
Med hjälp av tabellen över cosinusvärden (Bradys), bestämma storleken på den önskade vinkeln:
cOS (i, u) \u003d 0,9 (3) ⇒ ∠ (i, u) \u003d 21 ° 6'.
352
