Bekantskap med en sådan trigonometriska funktion som sinus sker i läsåret algebra. Vad betyder det representerar? Vilka egenskaper har du? Hur är sinus med andra funktioner i trigonometri, såsom cosinus, tangent och catangent?
Geometrisk definition av sinus
För att formulera en definition av sinus, vända sig till en enda krets. Dess centrum kommer att ligga vid skärningspunkten mellan X- och Y-axeln av det kartesiska koordinatsystemet. Beteckna denna punkt som t O, dess koordinater -. (0,0). Radius i denna cirkel R \u003d 1. Därefter kommer vi att bygga en rätvinklig triangel. För detta:
- Ta på en enda cirkel en godtycklig T. P. Dess koordinater - (x, y).
- Efter t. P, spendera den vertikala som kommer att bilda en vinkel av 90 ° med Ox axeln.
- Skärningspunkten för denna vertikala med OX-axeln kommer att betecknas med T. L.
- Som ett resultat, var segmenten PL \u003d Y- och OL \u003d X bildas.
- Connect T. p (x, y) och början av koordinaterna - t O (0,0).. Cut OP \u003d R \u003d 1.
- Den resulterande ∠lop betecknas som μ.
Sinus för vinkeln μ kallas förhållandet mellan ordinatan y (Pl) till cirkelns radie R (OP). Eftersom PL och OP segmenten är respektive cathenet och hypothenus av triangeln Δopl med ∠olp \u003d 90 °, då begreppet sinus karaktäriserar förhållandet mellan sidorna av den rektangulära triangeln.
Hörnet sinus är förhållandet mellan längden av den motsatta Catech till längden på hypotenusan.
Definition av sinus för en godtycklig vinkel
Överväga en godtycklig cirkel med radien B. ∠η bildas av abskissaaxeln o x. och en radie-vektor OB (B x., B. y.) (T. B tillhör den cirkel). Sänka vinkelrätt från T. B till abskissaaxeln och ordinataxeln. Baserat på formuleringen av hörn sinus för en rätvinklig triangel, följer att
sinη \u003d B. y./ B.
Sinus för en godtycklig vinkel som bildas av vektorradie och abskissan axeln är förhållandet mellan projektionen av denna vektor på ordinataaxeln till längden av radien-vektorn.
Definition av sinus genom trigonometriska identiteter
Använda huvud identitet trigonometri (SINμ 2.+ COSμ 2.\u003d 1), är det lätt att märka att:
sinμ. 2.\u003d 1 - COSμ 2.⇒ ιsinμι \u003d √1 - COSμ 2
sinμ \u003d ± √1 - cosμ 2.
Ett positivt eller negativt värde av sinus bestämmer fjärdedel av koordinatplanet i vilken vinkeln faller. Så i den första och andra kvartalet, kommer värdet av sinus vara positivt. Även under det tredje och fjärde kvartalet, kommer funktionen att ta ett negativt värde.
Sinus Function Chart och Egenskaper
Att bygga en graf över sinusfunktionen, flytta till det kartesiska koordinatsystemet. Notera konsekvent värden på planet vid förflyttning längs axeln o x., Rita schemat för den önskade funktionen. Följande egenskaper hos sinus syns tydligt:
- Definitionen fältområdet är alla giltiga nummer.
- På detta område, är området av värdet begränsas - från -1 till 1 inklusive.
- Funktion periodisk. Upprepa värden sker efter 2π (dvs 360 °)
- I det här fallet, sin (- μ) \u003d - sinμ. Så sinusfunktionen är udda.
Definition av sinus genom formeln
Återgå till en enda krets, kan du se att:
sinμ \u003d Y / R. Eftersom R \u003d 1, y / 1 \u003d y ⇒ sinμ \u003d y.
sin (π / 2 + η) \u003d cosη, sin (π + η) \u003d - sinη,
sin (π / 2 - η) \u003d cosη, sin (π - η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η) \u003d -cosη, sin (2π + η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η) \u003d -cosη, sin (2π - η) \u003d -sinη.
Eftersom Sinus har en funktion periodisk och dess period är 2π (360 °), varvid de ovanstående samband är giltiga och i allmänhet:
sin (2πk + η) \u003d sinη,
sin (π / 2 + η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π + η + 2πk) \u003d -sinη,
sin (π / 2 - η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π - η + 2πk) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η + 2πk) \u003d -cosηη, sin (2π + η + 2πk) \u003d sinη,
sIN (3π / 2 - η + 2πk) \u003d -COSηη, sin (2π - η + 2πk) \u003d -sinη, där k är ett valfritt antal från intervallet giltiga nummer.
349
