Równania kwadratowe - baza, na której zbudowana jest prawie wszystkie matematyki szkolne. Ale zdarza się, że fundamenty leciają z głowy. W tym artykule zbadamy różne rodzaje równania kwadratowych i rozwiązujemy je, dzięki czemu możesz je łatwo rozwiązać.
Co to jest równania kwadratowe?
To jest równania widoku tOPÓR.2 + bX. + c. = 0
gdzie, ≠ 0, b, c - liczby; X - zmienna.
Równania są bez korzeni, z jednym rootem i dwoma różnymi korzeniem.
Znajdź korzenie na dwa sposoby:
- przez dyskryminujący;
- na twierdzeniu Vieta.
Dyskryminujący
Znajdujemy go zgodnie z formułą d \u003d b 2 - 4c.
Właściwie, zgodnie z wynikową odpowiedzią i określ:
- D \u003c0, bez korzeni;
- D \u003d 0, tylko jeden root;
- D\u003e 0, dwa korzenie.
Znajdujemy korzenie formułami:
1. Bez korzeni.
2. x \u003d -b / 2a
3. X1 \u003d (-b + √d) / 2a; x2 \u003d (-b - √d) / 2a.
Przykład:
1. 3x. 2 + 4x + 3 \u003d 0
a \u003d 3; B \u003d 4; C \u003d 3;
D \u003d 4. 2 - 4 · 3 · 3 \u003d 0.
Brak korzeni.
2. X. 2 - 6x + 9 \u003d 0.
a \u003d 1; b \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.
x \u003d -b / 2a \u003d 6/2 \u003d 3
Jeden root: x \u003d 3
3. X. 2 - 5x + 6 \u003d 0
a \u003d 1; b \u003d -5; c \u003d 6;
D. = b.2 - 4. aC \u003d (-5) 2.- 4 · 1 · 6 \u003d 25 - 24 \u003d 1
x1 \u003d ( −(−
+√1) / 2·1 = 3x2 \u003d ( −(−
−√1) / 2·1 = 2Odpowiedź: X1 \u003d 3; x2 \u003d 2.
Twierdzenie Vieta.
Zmniejszone równanie kwadratowe formularza:
- x. 2 + px + q \u003d 0
Współczynnik A \u003d 1, ilość korzeni \u003d −p, Work \u003d Q.
Jeśli X1 i X2 są korzeniem danego równania kwadratowego, to:
x. 2 + px + q \u003d 0
x1 + x2 \u003d −p; x1. · x2 \u003d Q.
Twierdzenie, odwrotny twierdzenie Viety
Jeśli p, q, x1, x2 są takie, że:
x1 + x2 \u003d −p; x1. · x2 \u003d Q.
Następnie x1, x2 - równanie korzenie x 2 + px + q \u003d 0
Przykład:
x. 2 - 10x + 21 \u003d 0.
x1 + x2 \u003d 10; x1. · x2 \u003d 21.
Łatwo jest zauważyć, że te równości nadają się do liczb 3 i 7.
Wyjątki
Ale w rozwiązywaniu równań są przypadki specjalne - niepełne równania.
- a. x.2+ C \u003d 0, B równa się 0;
- a. x.2 + BX \u003d 0, C wynosi 0;
- a. x.2 \u003d 0, b i c są 0.
Ale nie powinieneś się martwić: takie równania są łatwo rozwiązane (możesz rozwiązać poprzez dyskryminowanie).
Przykład:
5x.2 = 0
5x.2/ 5 \u003d 0/5
x.2 = 0
x. = 0
Odpowiedź: x. = 0
To wszystko! Jak widać, nie było tak trudne do rozwiązania równań kwadratowych, więc teraz chodzi o ciebie.
349
