Ismerettel egy ilyen trigonometrikus funkcióval, mint a sinus, az algebra iskolai évében fordul elő. Mit képvisel? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik? Hogyan működik a sinus a trigonometria más funkcióival, mint például a koszinusz, a tangens és a kategens?
A sinus geometriai meghatározása
Annak érdekében, hogy megfogalmazzuk a sinus definícióját, forduljon egyetlen körhez. Középpontja a Descartes-koordináta-rendszer X és Y tengelyeinek metszéspontján fekszik. Ezt a pontot t jelölje. O, koordinátái - (0,0). A kör sugara r \u003d 1. Ezután egy téglalap alakú háromszöget építünk. Ezért:
- Vegyünk egy köret egy tetszőleges T. P. koordinátái - (x, y).
- T. p, húzza át a függőleges, amely 90 ° -os szöget képez az ox tengelyen.
- Ennek a függőlegesnek a metszéspontját az ox tengelyével T. L. jelöli.
- Ennek eredményeképpen a szegmensek pl \u003d y és ol \u003d x alakultak ki.
- Csatlakoztassa T. p (x, y) és a koordináta elejét - t. O (0,0). Vágás op \u003d r \u003d 1.
- A kapott ∠lopot μ-nek jelöljük.
A sinus a szög μ nevezzük aránya az ordináta y (Pl) a kör sugara R (OP). Mivel A szakaszok a PL és az OP rendre ostyát és a hypothenoise a háromszög ΔOPL a ∠olp \u003d 90 °, akkor a koncepció szinusz jellemzi közötti arány az oldalán a téglalap alakú háromszög.
A sarok sinus az ellenkező kategória hosszának aránya a hypotenuse hosszahoz.
A szinusz meghatározása tetszőleges szögben
Tekintsünk egy tetszőleges sugarú köröt. ∠η az abszcisszió tengelye által alkotott x. és sugár-vektor ob (b x., B. y.) (T. b a körhöz tartozik). Teljesítmény merőleges t. B az abszcissza tengelyén és az ordinát tengelye. A sarok szinuszának egy téglalap alakú háromszögre való megfogalmazása alapján következik, hogy
sINη \u003d B. y./ b.
A vektárral és az abszcissza tengellyel rendelkező tetszőleges szög sinusa az a vektor és az ordinát tengelyének vetületének aránya a sugárvektor hosszához.
A sinus definíciója a trigonometrikus identitásokon keresztül
A trigonometria fő identitásával (SINμ 2.+ COSμ. 2.\u003d 1) könnyen észrevehető, hogy:
sinμ. 2.\u003d 1 - cosμ 2.⇒ ιsinμι \u003d √1 - cosμ 2
sINμ \u003d ± √1 - cosμ 2.
A pozitív vagy negatív sinus érték meghatározza a koordináta sík egynegyedét, amelyben a szög csökken. Tehát az első és a második negyedévben a sinus értéke pozitív lesz. A harmadik és a negyedik negyedévben a funkció negatív értéket vesz igénybe.
Sinus funkció diagram és tulajdonságok
A sinus funkció grafikonjának létrehozásához lépjen a Descartes-koordináta rendszerre. A tengely mentén haladva következetesen értékeli a síkon x., rajzolja meg a kívánt funkció ütemezését. A Sinus következő tulajdonságai jól láthatóak:
- A mezőmeghatározás területe érvényes szám.
- Ezen a területen az érték értéke korlátozott - -1-től 1-ig.
- Funkció periodikus. Az ismétlődő értékek 2π után (azaz 360 °)
- Ebben az esetben a bűn (- μ) \u003d - Sinμ. Tehát a sinus funkció furcsa.
A sinus definíciója a képleten keresztül
Visszatérve egy körbe, láthatja, hogy:
sinμ \u003d y / r, mert R \u003d 1, y / 1 \u003d y ⇒ sinμ \u003d y.
sIN (π / 2 + η) \u003d cosη, sin (π + η) \u003d - Sinη,
sIN (π / 2 - η) \u003d Cosη, Sin (π - η) \u003d Sinη,
sIN (3π / 2 + η) \u003d -Cosη, Sin (2π + η) \u003d Sinη,
sIN (3π / 2 - η) \u003d -Cosη, Sin (2π - η) \u003d -Sinη.
Mivel A Sinusa funkciója periodikus és időszaka 2π (360 °), a fenti kapcsolatok érvényesek és általában:
sIN (2πK + η) \u003d Sinη,
sIN (π / 2 + η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π + η + 2πK) \u003d -Sinη,
sIN (π / 2 - η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π - η + 2πK) \u003d Sinη,
sIN (3π / 2 + η + 2πK \u003d -Cosηη, sin (2π + η + 2πK) \u003d Sinη,
sIN (3π / 2 - η + 2πK \u003d -Cosηη, sin (2π - η + 2πK) \u003d -Sinη, ahol k bármilyen szám az érvényes számok tartományából.
349
