La connaissance et la compréhension des termes mathématiques vont aider à résoudre de nombreuses tâches en cours d'algèbre et de la géométrie. Un rôle tout aussi important est donnée aux formules qui affiche la relation entre les caractéristiques mathématiques.
L'angle entre les vecteurs - explication de la terminologie
Pour, il est nécessaire de formuler la définition de l'angle entre les vecteurs pour savoir ce qui implique le terme « vecteur ». Ce concept caractérise une ligne droite, qui a le début, la longueur et la direction. Si vous 2 segments dirigés DÉPEINTE qui sont originaires du même point, par conséquent, ils forment un angle.
Cette. L'expression « l'angle entre les vecteurs » détermine le degré le plus petit angle par rapport à laquelle un segment directionnel doit être tourné (par rapport au point de départ) pour qu'il prenne la position / direction de la seconde partie directionnelle. Cette déclaration s'applique aux vecteurs de vecteur d'un point.
Le degré de l'angle entre les deux zones dirigées de la droite, son origine à un moment donné est conclu dans le segment de 0 º jusqu'à 180. º. Cette valeur est désignée comme ∠ (A, U) - l'angle entre les segments A et U dirigés.
Calcul de l'angle entre les vecteurs
Le calcul de la mesure le degré de l'angle formé par une paire de parties dirigées de la ligne est faite en utilisant la formule suivante:
\u003d cos (O, A) / | ò | · A |, ⇒ φ \u003d arccos (cos).
∠φ - l'angle souhaité entre les vecteurs spécifiés O et A,
(O, A) - le travail des régiments des parties dirigées de la ligne,
| Ò | · | A | - Le produit de la longueur des segments dirigés données.
Détermination d'un produit scalaire des zones dirigées
Comment utiliser cette formule et déterminer la valeur du numérateur et le dénominateur du rapport présenté?
En fonction du système de coordonnées (decartian ou dans l'espace en trois dimensions), dans lequel sont situés les vecteurs spécifiés, chaque segment directionnel a les paramètres suivants:
ō = { o.x., o.y.}, ā = { uNE. x., uNE.y.) ou
ō = { o.x., o.y.O.z.}, ā = { uNE. x., uNE.y., UNE.z.}.
Par conséquent, pour trouver la valeur du numérateur - le scalalar des segments dirigés - ces actions doivent être effectuées:
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* uNE. x.+ o.y.* UNE.y.Si le vecteur à l'étude se trouve sur l'avion
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* uNE. x.+ o.y.* UNE.y.+ o.z.* uNE.z.Si les zones dirigées sont situées dans l'espace.
Détermination des vecteurs
La longueur du segment directionnel est calculée à l'aide d'expressions:
|ō| = √ o.x.2.+ o.y.2.ou | ō | \u003d √ o.x.2.+ o.y.2.+ o.z.2
| Â | \u003d √ A. x.2.+ uNE.y.2.ou | \u003d √ uNE.x.2.+ uNE.y.2.+ uNE.z.2
Cette. Dans le cas général de la mesure N-dimensionnelle, l'expression pour déterminer le degré de l'angle entre les segments dirigés ō \u003d ( o.x., o.y.... O.n.) et ā \u003d ( uNE. x., uNE.y.... UNE.n.) Ressemble à ça:
φ \u003d arccos (cosφ) \u003d arccos (( o.x.* uNE. x.+ o.y.* UNE.y.+ … + o.n.* uNE.n.) / (√ o.x.2.+ o.y.2.+ … + o.n.2 * √ uNE.x.2.+ uNE.y.2.+ … + uNE.n.2) ).
Un exemple de calcul de l'angle entre les segments directionnels
Selon les conditions, les vecteurs ī \u003d (3; 4; 0) et ū \u003d (4; 4; 2) sont donnés. Quel est le degré d'une mesure d'un angle formé par ces segments?
Déterminez le scalaire des vecteurs ī et ū. Pour ça:
i * u \u003d 3 * 4 + 4 * 4 + 0 * 2 \u003d 28
Après avoir calculé la longueur des segments:
| ī | \u003d √9 + 16 + 0 \u003d √25 \u003d 5,
| ū ū | \u003d √16 + 16 + 4 \u003d √36 \u003d 6.
cos (ī, ū) \u003d 28/5 * 6 \u003d 28/30 \u003d 14/15 \u003d 0,9 (3).
Profitant de la table des valeurs de cosinus (Bradys), déterminez la magnitude de l'angle d'origine:
cos (ī, ū) \u003d 0,9 (3) ⇒ ∠ (ī, ū) \u003d 21 ° 6 '.
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