La connaissance avec une telle fonction trigonométrique comme sinus se produit dans l'année scolaire de l'algèbre. Que représente-t-elle? Quelles propriétés avez-vous? Comment est le sinus avec d'autres fonctions de trigonométrie, telles que cosinus, tangente et catagnent?
Définition géométrique du sinus
Afin de formuler la définition de sinus, tournez vers un seul cercle. Son centre se situera au point d'intersection des axes X et Y du système de coordonnées cartésiennes. Dénote ce point comme t. O, ses coordonnées - (0,0). Rayon de ce cercle R \u003d 1. Ensuite, nous construirons un triangle rectangulaire. Pour ça:
- Prenez sur un seul cercle un T. P. arbitraire Ses coordonnées - (x, y).
- Après T. p, glissez la verticale qui formera un angle de 90 ° avec l'axe de bœuf.
- Le point d'intersection de cette verticale avec l'axe de bœuf sera noté par T. L.
- En conséquence, les segments pl \u003d y et ol \u003d x ont été formés.
- Connectez T. p (x, y) et le début de la coordonnée - T. O (0,0). Couper op \u003d r \u003d 1.
- Le ∠Lop résultant est désigné comme μ.
Le sinus de l'angle μ est appelé le rapport de l'ordonnée Y (PL) au rayon du cercle R (OP). Parce que Les sections de pl et op sont respectivement cathét et hypothénoise du triangle ΔOPL avec ∠olp \u003d 90 °, puis le concept de sinus caractérise le rapport entre les côtés du triangle rectangulaire.
Le sinus Coin est le rapport de la longueur de la catégorie opposée à la longueur de l'hypoténuse.
Définition du sinus pour un angle arbitraire
Considérons un cercle arbitraire de rayon B. ∠η formé par l'axe de l'abscisse O x. et rayon-vecteur ob (b x., B. y.) (T. b appartient au cercle). Puissance perpendiculaire de t. B sur l'axe de l'abscisse et de l'axe de l'ordonnée. Basé sur le libellé du coin sinus pour un triangle rectangulaire, il suit que
sinη \u003d B. y./ b.
Le sinus d'un angle arbitraire formé par le rayon par le vecteur et l'axe Abscissa est le rapport de la projection de ce vecteur sur l'axe d'ordonnée à la longueur du vecteur de rayon.
Définition du sinus à travers des identités trigonométriques
En utilisant l'identité principale de la trigonométrie (SINμ 2.+ COSμ. 2.\u003d 1), il est facile de remarquer que:
sinμ. 2.\u003d 1 - COSμ 2.⇒ ιsinμι \u003d √1 - COSμ 2
sinμ \u003d ± √1 - cosμ 2.
Une valeur de sinus positive ou négative détermine un quart du plan de coordonnées dans lequel l'angle tombe. Donc, aux premier et deuxième trimestres, la valeur des sinus sera positive. Pendant les troisième et quatrième trimestres, la fonction prendra une valeur négative.
Tableau de la fonction Sinus et Propriétés
Pour construire un graphique de la fonction sinusale, passez au système de coordonnées cartésien. Notant de valoriser systématiquement sur l'avion lorsque vous déplacez le long de l'axe O x., dessinez le calendrier de la fonction souhaitée. Les propriétés suivantes des sinus sont clairement visibles:
- La zone de définition de champ est tous des nombres valides.
- Dans cette zone, la valeur de la valeur est limitée - de -1 à 1 inclusive.
- Fonction périodique. Les valeurs répétées se produisent après 2π (I.e. 360 °)
- Dans ce cas, sin (- μ) \u003d - sinμ. Donc, la fonction sinusale est impair.
Définition du sinus à travers la formule
Retourner à un seul cercle, vous pouvez voir que:
sinμ \u003d y / r. parce que R \u003d 1, y / 1 \u003d y ⇒ sinμ \u003d y.
sin (π / 2 + η) \u003d cosη, péché (π + η) \u003d - sinη,
sin (π / 2 - η) \u003d cosη, péché (π - η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η) \u003d -cosη, péché (2π + η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η) \u003d -Cosη, Sin (2π - η) \u003d -Sinη.
Parce que Sinusa a une fonction périodique et sa période est de 2π (360 °), les relations ci-dessus sont valables et généralement:
péché (2πk + η) \u003d sinη,
sin (π / 2 + η + 2πk) \u003d cosηη, péché (π + η + 2πk) \u003d -Sinη,
sin (π / 2 - η + 2πk) \u003d cosηη, péché (π - η + 2πk) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η + 2πk) \u003d -cosηη, péché (2π + η + 2πk) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η + 2πk) \u003d -Cosηη, Sin (2π - η + 2πk) \u003d -Sinη, où K est n'importe quel nombre de la gamme de nombres valides.
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