El conocimiento y la comprensión de los términos matemáticos ayudarán en la solución de muchas de las tareas como un curso de álgebra y geometría. Un papel igualmente importante se da a las fórmulas que muestra la relación entre las características matemáticas.
El ángulo entre los vectores - explicación de la terminología
Con el fin de formular la definición del ángulo entre los vectores, es necesario averiguar lo que implica el término "vector". Este concepto caracteriza a una línea recta, que tiene el principio, longitud y dirección. Si se representan 2 segmentos dirigidos que se originan en el mismo punto, por lo que forman un ángulo.
Ese. El término "el ángulo entre los vectores" determina el grado del ángulo más pequeño a la que un segmento direccional debe girarse (en relación con el punto de partida) de modo que tome la posición / dirección de la segunda porción direccional. Esta afirmación se aplica a los vectores vector de un punto.
El grado de la esquina entre las dos áreas dirigidas de la recta, se originó en un punto se concluye en el segmento de 0 º hasta 180. º. Este valor se designa como ∠ (a, u) - el ángulo entre los segmentos dirigidos A y U.
Cálculo de la esquina entre los vectores
El cálculo de la medida en grados del ángulo formado por un par de partes dirigidas de la línea se hace usando la siguiente fórmula:
cos \u003d (O, A) / | o | · A |, ⇒ φ \u003d arccos (cos).
∠φ - el ángulo deseado entre los vectores especificados O y A,
(O, a) - el trabajo de los regimientos de las partes dirigidas de la línea,
| O | · | a | - El producto de las longitudes de los segmentos dirigidos dadas.
Determinación de un producto escalar de áreas dirigidas
Cómo utilizar esta fórmula y determinar el valor del numerador y denominador de la relación presentada?
Dependiendo del sistema de coordenadas (decartian o tridimensional espacio), en la que los vectores especificados están situados, cada segmento direccional tiene los siguientes parámetros:
ō = { o.x., o.y.}, ā = { uNA. x., uNA.y.) o
ō = { o.x., o.y.O.z.}, ā = { uNA. x., uNA.y., A.z.}.
En consecuencia, para encontrar el valor del numerador, el escalalar de los segmentos dirigidos, se deben hacer tales acciones:
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* uNA. x.+ o.y* A.y.Si el vector bajo consideración se encuentra en el plano.
(ō,ā) = ō * ā = o.x.* uNA. x.+ o.y* A.y+ o.z.* uNA.z.Si las áreas dirigidas se encuentran en el espacio.
Determinación de vectores
La longitud del segmento direccional se calcula utilizando expresiones:
|ō| = √ o.x.2.+ o.y.2.o | ō | \u003d √ o.x.2.+ o.y.2.+ o.z.2
| ā | \u003d √ A. x.2.+ uNA.y.2.o | ā | \u003d √ uNA.x.2.+ uNA.y.2.+ uNA.z.2
Ese. En el caso general de medición n-dimensional, la expresión para determinar el grado del ángulo entre los segmentos dirigidos ō \u003d ( o.x., o.y.... O.nORTE.) y ā \u003d ( uNA. x., uNA.y.... A.nORTE.) tiene este aspecto:
φ \u003d arccos (cosφ) \u003d arccos (( o.x.* uNA. x.+ o.y* A.y+ … + o.nORTE.* uNA.nORTE.) / (√ o.x.2.+ o.y.2.+ … + o.nORTE.2 * √ uNA.x.2.+ uNA.y.2.+ … + uNA.nORTE.2) ).
Un ejemplo de calcular el ángulo entre segmentos direccionales.
Según las condiciones, los vectores ī \u003d (3; 4; 0) y ū \u003d (4; 4; 2) se dan. ¿Cuál es el grado de una medida de un ángulo formado por estos segmentos?
Determinar los vectores escalares ī y ū. Para esto:
i * u \u003d 3 * 4 + 4 * 4 + 0 * 2 \u003d 28
Después de calcular la longitud de los segmentos:
| ī | \u003d √9 + 16 + 0 \u003d √25 \u003d 5,
| ū ū ū | \u003d √16 + 16 + 4 \u003d √36 \u003d 6.
cos (ī, ū) \u003d 28/5 * 6 \u003d 28/30 \u003d 14/15 \u003d 0.9 (3).
Aprovechando la tabla de valores de coseno (Bradys), determine la magnitud del ángulo original:
cos (ī, ū) \u003d 0.9 (3) ⇒ ∠ (ī, ū) \u003d 21 ° 6 '.
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