Quadratische Gleichungen - die Basis, auf die fast alle Schulmathematik gebaut. Aber es kommt vor, dass die Fundamente des Kopfes fliegen aus. In diesem Artikel werden wir die Arten von quadratischen Gleichungen im Detail untersuchen und lösen sie, so können Sie leicht selbst lösen.
Was ist quadratisch Gleichungen?
Dies ist die Ansicht Gleichungen aXT.2 + bX. + c. = 0
wobei a ≠ 0, b, c - Zahlen; X - Variable.
Gleichungen sind ohne Wurzeln, mit einer Wurzel und zwei verschiedenen Wurzeln.
Finden Sie die Wurzeln auf zwei Arten:
- durch Diskriminanzanalyse;
- auf dem Vieta Satz.
Diskriminanzanalyse
Wir finden es nach der Formel d \u003d b 2 - 4ac.
Eigentlich nach der resultierenden Antwort und bestimmen:
- D \u003c0, keine Wurzeln;
- D \u003d 0, nur eine Wurzel;
- D\u003e 0, zwei Wurzeln.
Wir finden Wurzeln durch die Formeln:
1. Keine Wurzeln.
2. X \u003d -b / 2A
3. x1 \u003d (-b + √D) / 2a; x2 \u003d (-b - √D) / 2A.
Beispiel:
1. 3x 2 + 4x + 3 \u003d 0
a \u003d 3, b \u003d 4, c \u003d 3;
D \u003d 4 ist. 2 - 4 · 3 · 3 \u003d 0.
Keine Wurzeln.
2. X. 2 - 6x + 9 \u003d 0.
a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.
x \u003d -b / 2a \u003d 6/2 \u003d 3
Eine Wurzel: x \u003d 3
3. X. 2 - 5x + 6 \u003d 0
a \u003d 1; b \u003d -5; C \u003d 6;
D. = b.2 - 4. aC \u003d (-5) 2- 4 · 1 · 6 \u003d 25 - 24 \u003d 1
x1 \u003d ( −(−
+√1) / 2·1 = 3x2 \u003d ( −(−
−√1) / 2·1 = 2Antwort: x1 \u003d 3; x2 \u003d 2.
vieta Theorem
Die reduzierte quadratische Gleichung der Form:
- x. 2 + Px + Q \u003d 0
Koeffizient a \u003d 1, die Menge der Wurzeln \u003d −p, Arbeit \u003d Q.
Wenn x1 und x2 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung gegeben ist, dann:
x. 2 + Px + Q \u003d 0
x1 + x2 \u003d −p; x1 · x2 \u003d Q.
Satz, Reverse Satz von Vieta
Wenn p, q, x1, x2 sind, so dass:
x1 + x2 \u003d −p; x1. · x2 \u003d Q.
dann x1, x2 - Wurzeln Gleichung x 2 + Px + Q \u003d 0
Beispiel:
x. 2 - 10x + 21 \u003d 0 ist.
x1 + x2 \u003d 10; x1 · x2 \u003d 21.
Es ist leicht zu bemerken, dass diese Gleichheiten für Zahlen geeignet sind 3 und 7.
Ausnahmen
Aber bei der Lösung von Gleichungen gibt es Sonderfälle - unvollständige Gleichungen.
- a. x.2+ C \u003d 0, B ist gleich 0;
- a. x.2 + BX \u003d 0 ist, ist C & sub0;
- a. x.2 \u003d 0, b und c 0 sind.
Aber Sie sollten sich keine Sorgen: solche Gleichungen leicht gelöst werden (Sie können durch Diskriminanzanalyse lösen).
Beispiel:
5x.2 = 0
5x.2/ 5 \u003d 0/5
x.2 = 0
x. = 0
Antworten: x. = 0
Das ist alles! Wie Sie sehen können, war es nicht so schwierig, die quadratischen Gleichungen zu lösen, so dass jetzt über Sie es.
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