Wissen und Verständnis der mathematischen Bedingungen werden dazu beitragen, viele Aufgaben als Algebra und Geometrie zu lösen. Eine ebenso wichtige Rolle ist den Formeln, die die Beziehung zwischen mathematischen Eigenschaften anzeigt.
Der Winkel zwischen den Vektoren - Erläuterung der Terminologie
Um die Definition des Winkels zwischen den Vektoren zu formulieren, muss herausfinden, was den Begriff "Vektor" impliziert. Dieses Konzept kennzeichnet eine gerade Linie, die den Anfang, die Länge und Richtung hat. Wenn Sie 2 gerichtete Segmente dargestellt sind, die an derselben Stelle stammen, bilden sie daher einen Winkel.
Dass. Der Begriff "der Winkel zwischen den Vektoren" bestimmt den Grad des kleinsten Winkels, zu dem ein Richtungssegment (relativ zum Ausgangspunkt) gedreht werden soll, so dass er die Position / Richtung des zweiten Richtungsabschnitts ergreift. Diese Anweisung gilt für die Vektorvektoren von einem Punkt.
Der Grad der Ecke zwischen den beiden gerichteten Bereichen der Geraden, die an einem Punkt stammen, ist im Segment von 0 abgeschlossen º bis 180. º. Dieser Wert wird als ∠ (Ā, ū) bezeichnet - der Winkel zwischen den gerichteten Segmenten Ā und ū.
Berechnung der Ecke zwischen den Vektoren
Die Berechnung des Grades des Grades des Winkels, der durch ein Paar gerichtete Teile der Linie gebildet wird, wird unter Verwendung der folgenden Formel hergestellt:
cosφ \u003d (ō, Ā) / | ō | · Ā |, ⇒ φ \u003d Arccos (cosφ).
∠φ - der gewünschte Winkel zwischen den angegebenen Vektoren ō und Ā,
(ō, Ā) - die Arbeit der Regimenter der gerichteten Teile der Linie,
| ō | · | Ā | - das Produkt der Längen der gegebenen gerichteten Segmente.
Bestimmung eines Skalarprodukts von gerichteten Bereichen
So verwenden Sie diese Formel und bestimmen Sie den Wert des Zählers und den Nenner der dargestellten Beziehung?
Je nach Koordinatensystem (decartesischer oder dreidimensionaler Raum), in dem sich die angegebenen Vektoren befinden, hat jedes Richtungssegment die folgenden Parameter:
ō = { Ö.x., Ö.y.}, ā = { a. x., a.y.) oder
ō = { Ö.x., Ö.y.Ö.z.}, ā = { a. x., a.y., EIN.z.}.
Folglich wird der Wert des Zählers zu finden - die scalalar der gerichteten Segmente - solche Aktionen vorgenommen werden sollen:
(ō,ā) = ō * ā = Ö.x.* a. x.+ Ö.y.* EIN.y.wenn der Vektor unter Berücksichtigung liegt auf der Ebene
(ō,ā) = ō * ā = Ö.x.* a. x.+ Ö.y.* EIN.y.+ Ö.z.* a.z.Wenn die gerichteten Bereiche im Raum befindet.
Bestimmung von Vektoren
Die Länge des Richtungssegmentes wird mit Ausdrücken berechnet:
|ō| = √ Ö.x.2+ Ö.y.2oder | O | \u003d √ Ö.x.2+ Ö.y.2+ Ö.z.2
| A | \u003d √ A. x.2+ a.y.2oder | a | \u003d √ a.x.2+ a.y.2+ a.z.2
Dass. Im allgemeinen Fall von n-dimensionalen Messung, der Ausdruck, den Grad des Winkels zwischen den Segmenten gerichtet O \u003d zu bestimmen ( Ö.x., Ö.y.... Ö.n.) Und A \u003d ( a. x., a.y.... EIN.n.) sieht so aus:
φ \u003d arccos (cos & phi;) \u003d arccos (( Ö.x.* a. x.+ Ö.y.* EIN.y.+ … + Ö.n.* a.n.) / (√ Ö.x.2+ Ö.y.2+ … + Ö.n.2 * √ a.x.2+ a.y.2+ … + a.n.2) ).
Ein Beispiel für den Winkel zwischen Segmenten Richtungsberechnungs
Nach den Bedingungen, die Vektoren i \u003d (3; 4; 0) und u \u003d (4; 4; 2) gegeben sind. Was ist der Grad einer Maßnahme eines von diesen Segmenten gebildet Winkel?
Bestimmen Sie die skalare der Vektoren i und Ú. Dafür:
i * U \u003d 3 * 4 * 4 + 4 + 0 * 2 \u003d 28
Nachdem die Länge der Segmente Berechnung:
| I | \u003d √9 + 16 + 0 \u003d √25 \u003d 5,
| Û û | \u003d √16 + 16 + 4 \u003d √36 \u003d 6.
cOS (i, u) \u003d 28/5 * 6 \u003d 28/30 \u003d 14/15 \u003d 0,9 (3).
Unter Ausnutzung der Tabelle von Cosinus (bradys) -Werten, bestimmt die Größe des ursprünglichen Winkels:
cOS (i, u) \u003d 0,9 (3) ⇒ ∠ (i, u) \u003d 21 ° 6‘.
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