Die Bekanntschaft mit einer solchen trigonometrischen Funktion als Sinus tritt im Schuljahr von Algebra auf. Was vertritt sie? Welche Eigenschaften haben Sie? Wie ist der Sinus mit anderen Funktionen der Trigonometrie, wie Cosinus, Tangent und Catangent?
Geometrische Definition von Sinus
Um die Definition von Sinus zu formulieren, wenden Sie sich an einen einzelnen Kreis. Sein Zentrum liegt an der Kreuzungspunkt der X- und Y-Achsen des kartesischen Koordinatensystems. Bezeichnen Sie diesen Punkt als t. O, seine Koordinaten - (0,0). Radius dieses Kreises R \u003d 1. Als nächstes bauen wir ein rechteckiges Dreieck. Dafür:
- Nehmen Sie einen einzelnen Kreis einen willkürlichen T. P. S seiner Koordinaten - (X, Y) an.
- Nach T. p, streichen Sie die Vertikale, die einen Winkel von 90 ° mit der Oxisachse bildet.
- Der Schnittpunkt dieser Vertikale mit der Ochsenachse wird von T. L bezeichnet.
- Infolgedessen wurden die Segmente PL \u003d Y und OL \u003d X gebildet.
- Verbinden Sie T. p (x, y) und den Beginn der Koordinate - t. O (0,0). Schneiden Sie op \u003d r \u003d 1.
- Das resultierende ∠LOP ist als μ bezeichnet.
Der Sinus des Winkels μ wird als Verhältnis der Ordinate y (PL) bis zum Radius des Kreises R (OP) bezeichnet. Weil Die Abschnitte von PL und OP sind jeweils eine Katheter und die Hypothenoise des Dreiecks ΔOPL mit ∠olp \u003d 90 °, dann kennzeichnet das Konzept von Sinus das Verhältnis zwischen den Seiten des rechteckigen Dreiecks.
Die Ecksinus ist das Verhältnis der Länge der entgegengesetzten Kategorie zur Länge der Hypotenuse.
Definition von Sinus für einen beliebigen Winkel
Betrachten Sie einen beliebigen Kreis von Radius B. ∠η von der Achse des Absziziers gebildet x. und Radius-Vektor ob (b x., B. y.) (T. B gehört zum Kreis). Leistung senkrecht von t. B auf der Achse der Abszisse und der Achse der Ordinate. Basierend auf dem Wortlaut des Eckshöhlens für ein rechteckiges Dreieck folgt das
sinη \u003d B. y./ B.
Der Sinus eines beliebigen Winkels, der durch den Radius durch den Vektor und der Abszisse-Achse gebildet wird, ist das Verhältnis des Vorsprungs dieses Vektors auf der Ordinatenachse auf die Länge des Radiusvektors.
Definition von Sinus durch trigonometrische Identitäten
Mit der Hauptidentität der Trigonometrie (Sinμ 2+ Cos. 2\u003d 1), es ist einfach zu bemerken, dass:
sinμ. 2\u003d 1 - cos μ 2⇒ ιsinμι \u003d √1 - cosμ 2
sinμ \u003d ± √1 - cos 2.
Ein positiver oder negativer Sinuswert bestimmt ein Viertel der Koordinatenebene, in dem der Winkel fällt. Also, im ersten und zweiten Quartal, ist der Wert von Sinus positiv. Während im dritten und dem vierten Quartal die Funktion einen negativen Wert dauert.
Sinus-Funktionsdiagramm und -eigenschaften
Um einen Diagramm der Sinusfunktion aufzubauen, wechseln Sie in das kartesische Koordinatensystem. Bestimmungsgemäße Werte in der Ebene, wenn Sie sich entlang der Achse o bewegen x., Zeichnen Sie den Zeitplan der gewünschten Funktion. Die folgenden Eigenschaften von Sinus sind deutlich sichtbar:
- Der Feld Definitionsbereich ist alle gültigen Zahlen.
- In diesem Bereich ist der Wert des Werts begrenzt - von -1 bis 1 inklusive.
- Funktion periodisch. Wiederholungswerte erfolgen nach 2π (d. H. 360 °)
- In diesem Fall sing (- μ) \u003d - Sinμ. Die Sinus-Funktion ist also ungerade.
Definition von Sinus durch die Formel
Wenn Sie in einen einzelnen Kreis zurückkehren, können Sie das sehen:
sinμ \u003d y / r. weil R \u003d 1, Y / 1 \u003d y ⇒ Sinμ \u003d y.
sin (π / 2 + η) \u003d cosη, sin (π + η) \u003d - sinη,
sin (π / 2 - η) \u003d cosη, sin (π - η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 + η) \u003d -cosη, sin (2π + η) \u003d sinη,
sin (3π / 2 - η) \u003d -cosη, Sin (2π - η) \u003d -Sinη.
Weil Sinusa hat eine Funktion periodisch und seine Periode beträgt 2π (360 °), die obigen Beziehungen sind gültig und im Allgemeinen:
sin (2πk + η) \u003d Sinη,
sin (π / 2 + η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π + η + 2πk) \u003d -sinη,
sin (π / 2 - η + 2πk) \u003d cosηη, sin (π - η + 2πk) \u003d sinen,
sin (3π / 2 + η + 2πk) \u003d -cosηη, Sin (2π + η + 2πk) \u003d Sinη,
sin (3π / 2 - η + 2πk) \u003d -cosηη, Sin (2π - η + 2πk) \u003d -Sinη, wobei k eine beliebige Nummer aus dem Bereich der gültigen Zahlen ist.
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