Квадратные уравнения – база на которой строится почти вся школьная математика. Но бывает, что и основы вылетают из головы.В этой статье мы подробно разберем виды квадратных уравнений и их решения, так что вы с лёгкостью сможете решать их сами.
Что такое квадратные уравнения?
Это уравнения вида ax2 + bx + c = 0
где, a≠0, b, c – числа; x – переменная.
Уравнения бывают без корней, с одним корнем и двумя разными корнями.
Найти корни можно двумя способами:
- через дискриминант;
- по теореме Виета.
Дискриминант
Находим его по формуле D = b2 − 4ac.
Собственно, по получившемуся ответу и определяем:
- D < 0, корней нет;
- D = 0, только один корень;
- D > 0, два корня.
Находим корни по формулам:
1. корней нет.
2. x = −b / 2а
3. x1 = (−b + √D) / 2а; x2 = (−b − √D) / 2а
Пример:
1. 3x2 + 4x + 3 = 0
a = 3;b = 4;c = 3;
D = 42 − 4 ·3· 3 = 0.
Корней нет.
2. x2 − 6x + 9 = 0.
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
x= −b / 2а = 6 / 2 = 3
Один корень: x = 3
3. x2 − 5x + 6 = 0
a = 1; b = −5; c = 6;
D = b2 − 4ac = (-5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
х1 = (−(−
+√1) / 2·1 = 3х2 = (−(−
−√1) / 2·1 = 2Ответ: х1 = 3; х2 = 2
Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение вида:
- x2 + px + q = 0
Коэффициент a = 1, сумма корней = −p, произведение = q.
Если x1 и x2 — корни приведенного квадратного уравнения, то:
x2 + px + q = 0
x1 + x2 = −p; x1 · x2 = q
Теорема, обратная теореме Виета
Если p, q, x1, x2 таковы, что:
x1 + x2 = −p; x1 · x2 = q
то x1, x2 – корни уравнения x2 + px + q = 0
Пример:
x2 − 10x + 21 = 0.
х1 + х2 = 10; x1 · x2 = 21
Легко заметить, что этим равенствам подходят числа 3 и 7.
Исключения
Но и в решении уравнений есть особые случаи – неполные уравнения.
- ax2 + c = 0, b равняется 0;
- ax2 + bx = 0, с равняется 0;
- ax2 =0, b и с равняются 0.
Но не стоит переживать: такие уравнения легко решаются (можно решать и через дискриминант).
Пример:
5x2 = 0
5x2 / 5 = 0 / 5
x2 = 0
x = 0
Ответ: x = 0
Вот и всё! Как видите, решать квадратные уравнения оказалось не так-то трудно, так что теперь дело за вами.
853
