Как найти косинус

Косинус является одной из основных тригонометрических функций. Согласно определения данная величина представляет численное выражение отношения прилежащего катета (в прямоугольном треугольнике) к гипотенузе. Для нахождения величины cos угла можно воспользоваться данными о сторонах треугольника, формулами приведения или же тригонометрическими тождествами. С каждым из способов более подробно познакомимся далее.

1

Нахождение величины косинуса по определению

Определение косинуса “привязывает” данную тригонометрическую функцию с прямоугольному треугольнику. Итак, перед вами указанная фигура – треугольник MSP, ∠P = 90°. Тогда:

• cosM = MP/MS,
• cosS = PS/MS, где
• MP и PS – прилежащие (для каждого конкретного угла) катеты,
• MS – гипотенуза заданного треугольника.

2

Нахождение величины косинуса угла между векторами

Пересечение направленных отрезков прямой – векторов – ведет к образованию углов. Найти их косинус (а, значит, в последствии и градусную меру) позволяет определение скалярного произведения векторов. Данная формулировка предполагает перемножение длин векторов на косинус угла, образованного в результате их пересечения. Т.о., если у вас есть 2 направленных отрезка ū и ō, то

• ūō = ū *ō = (ū, ō) = lūl * lōl * cos (ū,ˆ ō), ⇒
• cos (ū,ˆ ō) =  (ū, ō) / lūl * lōl.
• В проекции на координаты декартовой системы направленные отрезки имеют параметры ū (x,y) = (u(x) ,u(y)) и ō (x,y) = (o(x), o(y)). Значит соотношение приобретает следующий вид:
• cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y)) / (√(u(x)² + u(y)²) * √o(x)² + o(y)²).

Если направленные отрезки заданы не на плоскости, а в пространстве, добавляется третья координата – z. Выражение нахождения косинуса преобразуется и будет иметь следующий вид:

cos (ū,ˆ ō) = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / lūl * lōl = (u(x)*o(x) + u(y)*o(y) + u(z)*o(z)) / (√(u(x)² + u(y)² + u(z)²) * √o(x)² + o(y)² + o(z)².

3

Нахождение величины косинуса с помощью формул приведения

Работая с формулами приведения для косинуса, необходимо понимать и помнить важное правило – переход от функции к кофункции (в данном случае переход от cos к sin) происходит при 90° и 270°. При 180° и 360° такой трансформации не будет.  Исходя из этого, справедливыми будут следующие соотношения:

• cos(π/2 – μ) = sinμ,
• cos(π/2 + μ) = -sinμ,
• cos(π – μ) = cos(π + μ) = -cosμ,
• cos(3π/2 – μ) = -sinμ,
• cos(3π/2 + μ) = sinμ,
• cos(2π – μ) = cos(2π + μ) = cosμ, где
• μ – угол поворота.

Т.к. косинус является периодической функцией с периодом 2πk, где k – произвольное целое значение, в общем случае выражения приведения приобретут следующий вид:

• cos(μ + 2πk) = cos(-μ + 2πk) = cosμ,
• cos(π/2 – μ + 2πk) = sinμ,
• cos(π/2 + μ + 2πk) = -sinμ,
• cos(π – μ + 2πk) = cos(π + μ + 2πk) = -cosμ,
• cos(3π/2 – μ + 2πk) = -sinμ,
• cos(3π/2 + μ + 2πk) = sinμ,
• cos(2π – μ + 2πk) = cos(2π + μ + 2πk) = cosμ.

4

Нахождение величины косинуса через тригонометрические тождества

Данные тождества представляют собой выражения (равенства), справедливые для угла любой градусной меры.

• cos²μ + sin²μ = 1 ⇒  cos²μ = 1 – sin²μ ⇒ cosμ = ±√ 1 – sin²μ
• tgμ = sinμ / cosμ ⇒ cosμ = sinμ / tgμ
• ctgμ = cosμ / sinμ ⇒ cosμ = ctgμ * sinμ
• 1/cos²μ = tg²μ + 1 ⇒ cos²μ = 1 / (tg²μ + 1) ⇒ cosμ = ± 1 / √tg²μ + 1

5

Нахождение косинуса угла – табличные величины

Для каждого угла, градусная мера которого находится в промежутке от 0° до 360°, можно определить соответствующее значение косинуса, воспользовавшись одноименной таблицей. Наиболее распространенными и часто используемыми являются следующие константы:

• cos0° = 1,                                          cos90° = 0,
• cos30° = √3/2,                                   cos180° = -1,
• cos60° = 1/2,                                     cos360° = 1.
• cos45° = √2/2,