Как найти угол между векторами?

Знание и понимание математических терминов поможет в решении многих задач как курса алгебры, так и геометрии. Не менее важная роль отводится формулам, отображающим взаимосвязи между математическими характеристиками.

1

Угол между векторами – пояснение терминологии

Для того, чтобы сформулировать определение угла между векторами, необходимо выяснить, что подразумевает термин “вектор”. Данное понятие характеризует участок прямой, имеющий начало, длину и направление. Если перед вами изображено 2 направленных отрезка, которые берут свое начало в одной и той же точке, следовательно они образуют угол.

Т.о. термин “угол между векторами” определяет градусную меру наименьшего угла, на который следует повернуть один направленный отрезок (относительно начальной точки), чтобы он занял положение/направление второго направленного участка прямой. Данное утверждение распространяется на вектора, выходящие из одной точки.

Градусная мера угла между двумя направленными участками прямой, берущими начало в одной точке заключена в отрезке от 0º до 180º. Обозначается данная величина как ∠(ā,ū) – угол между направленными отрезками ā и ū.

2

Расчет угла между векторами

Вычисление градусной меры угла, образованного парой направленных частей прямой, производится с использованием следующей формулы:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ).

∠φ – искомый угол между заданными векторами ō и ā,

(ō,ā) – произведение скаляров направленных частей прямой,

|ō|·|ā| – произведение длин заданных направленных отрезков.

Определение скалярного произведения направленных участков прямой

Как воспользоваться данной формулой и определить значение числителя и знаменателя представленного соотношения?

В зависимости от системы координат (декартова или трехмерное пространство), в  которой располагаются заданные векторы, каждый направленный отрезок имеет следующие параметры:

ō = {o_x, o_y}, ā = {a_x, a_y} или

ō = {o_x, o_y, o_z}, ā = {a_x, a_y, a_z}.

Следовательно, для нахождения значения числителя – скаляра направленных отрезков – следует произвести такие действия:

(ō,ā) = ō * ā = o_x * a_x + o_y * a_y, если рассматриваемые вектора лежат на плоскости

(ō,ā) = ō * ā = o_x * a_x + o_y * a_y + o_z * a_z, если направленные участки прямой располагаются в пространстве.

Определение длин векторов

Длина направленного отрезка вычисляется с использованием выражений:

|ō| = √ o_x² + o_y² или |ō| = √ o_x² + o_y² + o_z²

|ā| = √ a_x² + a_y² или |ā| = √ a_x² + a_y² + a_z²

Т.о. в общем случае n-мерного измерения выражение для определения градусной меры угла между направленными отрезками ō = {o_x, o_y, … o_n} и ā = {a_x, a_y, … a_n}  выглядит так:

φ = arccos (cosφ) = arccos ( (o_x * a_x + o_y * a_y + … + o_n * a_n) / (√ o_x² + o_y² + … + o_n² * √ a_x² + a_y² + … + a_n²) ).

3

Пример расчета угла между направленными отрезками

Согласно условия, заданы вектора ī = {3; 4; 0} и ū = {4; 4; 2}. Какова градусная мера угла, образованного данными отрезками?

Определяете скаляр векторов ī  и ū. Для этого:

i * u = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

После вычисляете длины отрезков:

|ī| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6.

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0,9(3).

Воспользовавшись таблицей значений косинусов (Брадиса), определяете величину искомого угла:

cos (ī,ū) = 0.9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′.